Subgroups — #355149

Order 512.

1370 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1827	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20393	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10891	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10889	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10765	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
15	#2873	C₂²	1	2	yes	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
19	#2317	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2317	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2317	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2317	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#384	C₄	1	2	yes	complemented
26	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2274	C₂²	1	2	yes	—
28	#1827	C₄	1	16	yes	complemented
29	C₄×#101	—	2	2	no	—
30	C₄×#100	—	2	2	no	—
31	C₄×#99	—	2	4	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
33	#1740	C₂²	1	2	yes	—
34	#1736	C₂²	1	4	yes	—
35	#1733	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	#520	—	4	4	no	—
41	#520	—	4	4	no	—
42	C₄×#41	—	2	4	no	—
43	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#413	—	2	4	no	—
69	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#101	—	2	2	no	—
71	C₂×#100	—	2	2	no	—
72	#410	—	2	4	no	—
73	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#99	—	2	4	no	—
75	#405	—	4	4	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
77	#389	—	2	4	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	4	no	—
80	#389	—	2	2	no	—
81	#385	—	2	4	no	—
82	#385	—	2	2	no	—
83	#385	—	2	4	no	—
84	#385	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	4	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#380	—	2	4	no	—
98	#380	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	#343	—	2	4	no	—
104	#342	—	2	4	no	—
105	#340	—	4	4	no	—
106	#339	—	4	4	no	—
107	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
108	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	8	no	—
135	C₄×D₄	—	2	16	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	8	no	—
138	C₄×D₄	—	4	8	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	4	4	no	—
148	#117	—	4	4	no	—
149	#117	C₄²	1	8	yes	complemented
150	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	complemented
193	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#101	—	2	8	no	—
200	#100	—	2	8	no	—
201	#99	—	2	16	no	—
202	#97	—	4	4	no	—
203	C₄×C₈	—	4	4	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	2	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
259	M₁₆	—	2	8	no	—
260	M₁₆	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	1	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	—	16	4	no	—
306	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
308	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	4	1	no	—
312	C₂³	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₂³	#534	1	2	yes	—
319	C₂³	#536	1	2	yes	—
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	D₄	—	2	16	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	16	4	no	—
355	C₂×C₄	—	16	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
369	C₈	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2322	1	4	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	8	8	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	1	no	—
395	C₄	—	8	1	no	—
396	C₄	#2274	1	2	yes	—
397	C₄	#2313	1	2	yes	—
398	C₄	#2322	1	4	yes	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	4	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	4	4	no	—
403	C₂	#13776	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#21782	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#21783	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10893	C₂	semidirect
6. #10891	C₂	semidirect
7. #10889	C₂	semidirect
8. #10888	C₂	semidirect
19. #2317	C₄	semidirect
20. #2317	C₄	semidirect
23. #2285	C₄	semidirect
25. C₂×#384	C₄	semidirect
28. #1827	C₄	semidirect
107. #339	C₂×C₄	semidirect
108. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect
149. #117	C₄²	semidirect
192. C₂×C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34183	2
C₂×#1827	2
#20397	2
#20393	2
#10893	2
#10891	2
#10889	2
#10888	2
#10765	2