Subgroups — #355230

Order 512.

1214 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20386	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10720	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
15	#2280	C₂²	1	2	yes	—
16	#1810	C₄	1	8	yes	complemented
17	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
18	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
19	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
20	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1753	—	2	4	no	—
22	#1753	—	2	4	no	—
23	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
24	#1735	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	C₄	1	8	yes	complemented
28	#1729	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
40	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	—	4	2	no	—
52	C₂×#117	—	4	2	no	—
53	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#108	—	4	2	no	—
59	C₂×#108	—	4	2	no	—
60	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	#427	—	4	2	no	—
62	#427	—	4	2	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#407	—	2	4	no	—
66	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	#405	—	4	4	no	—
70	#405	—	4	4	no	—
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	#381	—	2	2	no	—
74	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#379	—	2	2	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#339	—	4	4	no	—
83	#339	—	4	4	no	—
84	#336	—	2	8	no	—
85	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
114	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	4	4	no	—
151	#117	—	4	4	no	—
152	#117	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	#108	—	4	8	no	—
167	#107	—	4	4	no	—
168	#106	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
171	#97	—	4	8	no	—
172	C₄×C₈	—	4	8	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
231	M₁₆	—	2	8	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	4	8	no	—
234	M₁₆	—	4	8	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#538	1	2	yes	—
300	C₂³	#539	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
345	C₈	—	2	8	no	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	8	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2312	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2313	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2325	1	2	yes	—
372	C₂²	#2329	1	2	yes	—
373	C₂²	#2957	1	2	yes	—
374	C₂²	#2957	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	8	no	—
379	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2325	1	2	yes	—
384	C₄	#2329	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	4	2	no	—
389	C₂	—	4	2	no	—
390	C₂	#13778	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#22206	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10910	C₂	semidirect
6. #10909	C₂	semidirect
16. #1810	C₄	semidirect
17. #1808	C₄	semidirect
18. #1808	C₄	semidirect
19. #1807	C₄	semidirect
20. #1807	C₄	semidirect
27. #1729	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1810	2
#20658	2
#20386	2
C₂×#1729	2
#10910	2
#10909	2
#10720	2