Subgroups — #355231

Order 512.

1322 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20386	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10719	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
15	#2280	C₂²	1	2	yes	—
16	#1811	C₄	1	8	yes	complemented
17	#1809	C₄	1	4	yes	complemented
18	#1809	C₄	1	4	yes	complemented
19	#1753	—	2	4	no	—
20	#1753	—	2	4	no	—
21	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
22	#1735	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
25	#1729	C₂²	1	4	yes	—
26	#1728	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#108	—	4	2	no	—
55	C₂×#108	—	4	2	no	—
56	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	#427	—	4	2	no	—
58	#427	—	4	2	no	—
59	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	#407	—	2	4	no	—
62	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	#405	—	4	4	no	—
66	#405	—	4	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	#381	—	2	2	no	—
70	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#379	—	2	2	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	#339	—	4	4	no	—
78	#339	—	4	4	no	—
79	#336	—	2	8	no	—
80	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	C₄²	1	8	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₄²	1	8	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	#108	—	4	8	no	—
159	#107	—	4	4	no	—
160	#106	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
163	#97	—	4	8	no	—
164	C₄×C₈	—	4	8	no	—
165	#95	—	2	4	no	—
166	#95	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	4	no	—
170	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	8	no	—
228	M₁₆	—	4	8	no	—
229	M₁₆	—	4	8	no	—
230	M₁₆	—	4	8	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	4	4	no	—
265	C₄²	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	#538	1	2	yes	—
284	C₂³	#539	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	32	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	8	no	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2312	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2313	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2325	1	2	yes	—
351	C₂²	#2329	1	2	yes	—
352	C₂²	#2956	1	4	yes	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	8	8	no	—
357	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2325	1	2	yes	—
362	C₄	#2329	1	2	yes	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	4	2	no	—
367	C₂	—	4	2	no	—
368	C₂	#13778	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20445	1	2	yes	—
370	C₂	#22207	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10910	C₂	semidirect
6. #10909	C₂	semidirect
16. #1811	C₄	semidirect
17. #1809	C₄	semidirect
18. #1809	C₄	semidirect
26. #1728	C₄	semidirect
56. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×#106	C₂×C₄	semidirect
75. #341	C₂×C₄	semidirect
76. #340	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1811	2
#20660	2
#20386	2
C₂×#1728	2
#10910	2
#10909	2
#10719	2