Subgroups — #355261

Order 512.

954 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 200 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1838	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20438	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1745	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10909	C₂	1	8	yes	maximal
6	#10839	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2285	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1847	C₄	1	8	yes	complemented
15	#1838	C₄	1	8	yes	complemented
16	#1771	—	2	8	no	—
17	#1745	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
20	#1729	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
23	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
24	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
25	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	#427	—	4	8	no	—
30	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	#423	—	2	4	no	—
33	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
35	#405	—	4	8	no	—
36	C₂×#97	—	2	4	no	—
37	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×#97	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
44	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#380	—	2	4	no	—
47	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₄³	—	2	2	no	—
49	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#341	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	#339	—	4	8	no	—
52	#336	—	2	8	no	—
53	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
60	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
61	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
72	#117	—	2	8	no	—
73	#117	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
83	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
90	#107	—	4	8	no	—
91	#106	—	4	8	no	—
92	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
93	#97	—	4	8	no	—
94	#97	C₄²	1	16	yes	—
95	#97	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
96	C₄×C₈	—	4	8	no	—
97	#95	—	2	8	no	—
98	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
106	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
117	M₁₆	—	2	16	no	—
118	M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂×C₈	—	4	4	no	—
129	C₂×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
131	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₄²	—	2	8	no	—
136	C₄²	—	4	16	no	—
137	C₄²	—	4	4	no	—
138	C₄²	—	4	4	no	—
139	C₄²	—	4	4	no	—
140	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
141	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
143	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
144	C₂³	—	2	4	no	—
145	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
146	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂³	#540	1	2	yes	—
149	C₂³	#541	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄	—	4	16	no	—
160	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
167	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
168	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
169	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
170	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
171	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
172	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
173	C₈	—	2	8	no	—
174	C₈	—	2	8	no	—
175	C₈	—	4	8	no	—
176	C₂²	—	2	4	no	—
177	C₂²	—	2	2	no	—
178	C₂²	—	2	2	no	—
179	C₂²	—	2	4	no	—
180	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²	#2314	1	2	yes	—
182	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
183	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	#2330	1	2	yes	—
185	C₂²	#2956	1	4	yes	—
186	C₄	—	2	8	no	—
187	C₄	—	4	8	no	—
188	C₄	—	8	8	no	—
189	C₄	#2274	1	2	yes	—
190	C₄	#2317	1	2	yes	—
191	C₄	#2326	1	2	yes	—
192	C₄	#2331	1	2	yes	—
193	C₂	—	2	2	no	—
194	C₂	—	2	2	no	—
195	C₂	#13779	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#20445	1	2	yes	—
197	C₂	#22259	1	2	yes	—
198	C₂	#22283	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. #1847	C₄	semidirect
15. #1838	C₄	semidirect
17. #1745	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20799	2
C₂×#1838	2
#20438	2
C₂×#1745	2
#10909	2
#10839	2