Subgroups — #355266

Order 512.

994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20437	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	8	yes	maximal
6	#10839	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2285	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1848	C₄	1	8	yes	complemented
15	#1835	C₄	1	4	yes	complemented
16	#1834	C₄	1	4	yes	complemented
17	#1770	—	2	2	no	—
18	#1770	—	2	2	no	—
19	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
20	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
21	#1744	C₄	1	8	yes	complemented
22	#1735	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
24	#1729	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
27	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#108	—	4	8	no	—
35	C₂×#108	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	#423	—	2	4	no	—
37	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
40	#405	—	4	8	no	—
41	C₂×#97	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
52	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#380	—	2	2	no	—
55	#380	—	2	2	no	—
56	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₄³	—	2	2	no	—
59	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#340	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	#339	—	4	8	no	—
62	#336	—	2	4	no	—
63	#336	—	2	4	no	—
64	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
65	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
66	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
72	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	#117	—	2	8	no	—
86	#117	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
99	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
108	#108	—	4	16	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
110	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
111	#97	—	4	8	no	—
112	C₄×C₈	—	4	8	no	—
113	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
114	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
115	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
118	#95	—	2	4	no	—
119	#95	—	2	4	no	—
120	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
144	M₁₆	—	2	16	no	—
145	M₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂×C₈	—	2	8	no	—
149	C₂×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	8	no	—
156	C₂×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂×C₈	—	4	4	no	—
158	C₂×C₈	—	4	4	no	—
159	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
160	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₄²	—	2	16	no	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₄²	—	4	8	no	—
169	C₄²	—	4	4	no	—
170	C₄²	—	4	4	no	—
171	C₄²	—	4	2	no	—
172	C₄²	—	4	2	no	—
173	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
174	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
175	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
178	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
180	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	2	no	—
183	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	#542	1	4	yes	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄	—	4	16	no	—
196	C₂×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
205	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
206	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
214	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
219	C₈	—	2	4	no	—
220	C₈	—	2	4	no	—
221	C₈	—	2	8	no	—
222	C₈	—	4	8	no	—
223	C₂²	—	2	1	no	—
224	C₂²	—	2	1	no	—
225	C₂²	—	2	8	no	—
226	C₂²	—	2	1	no	—
227	C₂²	—	2	1	no	—
228	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	#2314	1	2	yes	—
230	C₂²	#2326	1	2	yes	—
231	C₂²	#2331	1	2	yes	—
232	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
233	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
234	C₄	—	2	2	no	—
235	C₄	—	2	2	no	—
236	C₄	—	4	8	no	—
237	C₄	—	8	8	no	—
238	C₄	#1772	1	4	yes	—
239	C₄	#1773	1	4	yes	—
240	C₄	#2274	1	2	yes	—
241	C₄	#2317	1	2	yes	—
242	C₄	#2327	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
244	C₄	#2330	1	2	yes	—
245	C₂	—	2	2	no	—
246	C₂	—	2	2	no	—
247	C₂	#13779	1	1	yes	characteristic
248	C₂	C₂×#1772	1	1	yes	characteristic
249	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#22234	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. #1848	C₄	semidirect
15. #1835	C₄	semidirect
16. #1834	C₄	semidirect
21. #1744	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1848	2
#20760	2
#20437	2
C₂×#1744	2
#10910	2
#10839	2