Subgroups — #35528

Order 256.

1981 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2544	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2541	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2428	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2410	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
16	#535	—	2	8	no	—
17	#535	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	—	2	8	no	—
19	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
30	#518	—	2	8	no	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	—
46	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
47	#385	C₂²	1	4	yes	—
48	#379	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
51	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#41	—	2	4	no	—
54	C₂×#41	—	2	4	no	—
55	C₂×#41	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
64	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#127	—	2	16	no	—
79	#127	—	2	16	no	—
80	#127	—	2	8	no	—
81	#127	—	2	8	no	—
82	#124	—	2	8	no	—
83	#124	—	2	8	no	—
84	#121	—	2	16	no	—
85	#121	—	2	16	no	—
86	#121	—	4	32	no	—
87	#120	—	2	16	no	—
88	#120	—	2	16	no	—
89	C₄×D₄	—	2	16	no	—
90	C₄×D₄	—	2	16	no	—
91	#117	—	2	4	no	—
92	#117	—	2	4	no	—
93	#117	D₄	1	8	yes	complemented
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
113	#95	C₂³	1	8	yes	—
114	#95	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	—	2	4	no	—
120	C₂⁴	—	4	8	no	—
121	C₂⁴	—	4	8	no	—
122	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#41	—	4	16	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	32	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	16	no	—
136	C₂×D₄	—	2	32	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	16	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	32	no	—
152	C₂×D₄	—	4	16	no	—
153	C₂×D₄	—	4	64	no	—
154	C₂×D₄	—	4	16	no	—
155	C₂×D₄	—	4	16	no	—
156	C₂×D₄	—	4	16	no	—
157	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
180	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
188	C₄²	—	2	4	no	—
189	C₄²	—	2	4	no	—
190	C₄²	—	2	4	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	16	no	—
197	C₂³	—	2	16	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	8	no	—
205	C₂³	—	2	16	no	—
206	C₂³	—	4	16	no	—
207	C₂³	—	4	16	no	—
208	C₂³	—	4	8	no	—
209	C₂³	—	8	8	no	—
210	C₂³	—	8	8	no	—
211	C₂³	—	8	8	no	—
212	C₂³	—	8	8	no	—
213	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	Q₈	—	4	4	no	—
219	D₄	—	2	16	no	—
220	D₄	—	2	16	no	—
221	D₄	—	4	64	no	—
222	D₄	—	4	8	no	—
223	D₄	—	4	8	no	—
224	D₄	—	4	8	no	—
225	D₄	—	4	4	no	—
226	D₄	—	8	16	no	—
227	D₄	—	8	16	no	—
228	C₂×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂×C₄	—	8	16	no	—
241	C₂×C₄	#121	1	16	yes	complemented
242	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
243	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	2	4	no	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	2	8	no	—
254	C₂²	—	2	16	no	—
255	C₂²	—	4	8	no	—
256	C₂²	—	4	8	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	4	no	—
259	C₂²	—	4	8	no	—
260	C₂²	—	4	4	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	8	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	8	no	—
265	C₂²	—	8	16	no	—
266	C₂²	—	8	16	no	—
267	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
268	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₄	—	2	8	no	—
273	C₄	—	2	8	no	—
274	C₄	—	4	2	no	—
275	C₄	—	4	4	no	—
276	C₄	—	4	4	no	—
277	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
278	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
279	C₂	—	2	4	no	—
280	C₂	—	4	8	no	—
281	C₂	—	8	2	no	—
282	C₂	—	8	4	no	—
283	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#3484	1	2	yes	—
285	C₂	#3498	1	2	yes	—
286	C₂	#3508	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#535	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. C₂²×#127	C₂	semidirect
4. C₂×#518	C₂	semidirect
5. #2544	C₂	semidirect
6. #2541	C₂	semidirect
7. #2428	C₂	semidirect
8. #2410	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
10. #2297	C₂	semidirect
11. #2296	C₂	semidirect
21. C₂×#127	C₂²	semidirect
22. C₂×#127	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×#121	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
38. #394	C₂²	semidirect
39. #392	C₂²	semidirect
40. #391	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #390	C₂²	semidirect
44. #389	C₂²	semidirect
46. #386	C₂²	semidirect
49. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₂²×D₄	D₄	semidirect
93. #117	D₄	semidirect
179. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
192. C₄²	C₂×D₄	semidirect
241. C₂×C₄	#121	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂²×#127	2
C₂×#518	2
#2544	2
#2541	2
#2428	2
#2410	2
#2309	2
#2297	2
#2296	2