Subgroups — #35529

Order 256.

1309 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 297 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2563	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2454	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2452	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2437	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#544	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#518	—	2	8	no	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#399	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	2	yes	—
43	#390	C₂²	1	4	yes	—
44	#390	C₂²	1	2	yes	—
45	#390	C₂²	1	4	yes	—
46	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#385	C₂²	1	4	yes	—
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
56	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#380	C₂²	1	4	yes	—
60	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#379	C₂²	1	4	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₄	Q₈	1	8	yes	complemented
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
79	#125	—	2	8	no	—
80	#125	—	2	8	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₄×D₄	—	2	8	no	—
85	C₄×D₄	—	2	8	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	#117	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	4	no	—
89	#117	—	2	4	no	—
90	#117	D₄	1	8	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂⁴	—	2	4	no	—
135	C₂⁴	—	2	4	no	—
136	C₂⁴	—	4	4	no	—
137	C₂⁴	—	4	4	no	—
138	C₂⁴	C₂×Q₈	1	8	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	32	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	2	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	16	no	—
215	C₂³	—	4	16	no	—
216	C₂³	—	8	8	no	—
217	C₂³	—	8	4	no	—
218	C₂³	—	8	4	no	—
219	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
221	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
224	Q₈	—	8	8	no	—
225	D₄	—	2	16	no	—
226	D₄	—	2	16	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	8	8	no	—
249	C₂×C₄	—	8	8	no	—
250	C₂×C₄	—	8	4	no	—
251	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂²	—	2	4	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	8	no	—
266	C₂²	—	2	16	no	—
267	C₂²	—	4	8	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	8	16	no	—
271	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂²	#585	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	2	4	no	—
279	C₄	—	2	4	no	—
280	C₄	—	4	4	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	4	4	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
288	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
289	C₂	—	2	4	no	—
290	C₂	—	4	8	no	—
291	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#3494	1	2	yes	—
293	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#3501	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#544	C₂	semidirect
3. #2566	C₂	semidirect
4. #2566	C₂	semidirect
5. #2563	C₂	semidirect
6. #2542	C₂	semidirect
7. #2454	C₂	semidirect
8. #2452	C₂	semidirect
9. #2437	C₂	semidirect
10. #2317	C₂	semidirect
12. #2296	C₂	semidirect
14. #2285	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×#125	C₂²	semidirect
20. C₂×#125	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
36. #399	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #396	C₂²	semidirect
39. #393	C₂²	semidirect
46. #389	C₂²	semidirect
47. #389	C₂²	semidirect
48. #389	C₂²	semidirect
51. #385	C₂²	semidirect
52. #385	C₂²	semidirect
53. #384	C₂²	semidirect
54. #384	C₂²	semidirect
55. #384	C₂²	semidirect
56. #382	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
60. #380	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
69. C₂²×D₄	Q₈	semidirect
251. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#544	2
C₂×#518	2
#2566	2
#2563	2
#2542	2
#2454	2
#2452	2
#2437	2
#2317	2
#2309	2
#2296	2
C₂×#390	2
#2285	2