Subgroups — #35533

Order 256.

1699 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2548	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2424	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2414	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#535	—	2	8	no	—
19	#535	—	2	8	no	—
20	#532	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
36	#520	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	4	yes	—
54	#390	C₂²	1	2	yes	—
55	#390	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	4	yes	—
64	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×#41	—	2	4	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
96	#127	—	2	8	no	—
97	#127	—	2	4	no	—
98	#127	—	2	8	no	—
99	#124	—	2	8	no	—
100	#124	—	2	4	no	—
101	#124	—	2	4	no	—
102	#124	—	2	8	no	—
103	#121	—	2	16	no	—
104	#121	—	2	16	no	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	8	no	—
107	#121	—	4	16	no	—
108	#120	—	2	16	no	—
109	#120	—	2	16	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	16	no	—
112	C₄×D₄	—	2	16	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	8	no	—
116	#117	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	8	yes	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#41	—	2	32	no	—
160	#41	—	4	16	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
166	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	16	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	16	no	—
194	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	4	16	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	8	8	no	—
267	C₂³	—	8	4	no	—
268	C₂³	—	8	4	no	—
269	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	Q₈	—	4	4	no	—
276	D₄	—	2	16	no	—
277	D₄	—	2	8	no	—
278	D₄	—	4	16	no	—
279	D₄	—	4	8	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	4	no	—
283	D₄	—	8	8	no	—
284	D₄	—	8	8	no	—
285	D₄	—	8	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	#121	1	16	yes	complemented
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	8	16	no	—
339	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
344	C₂²	#585	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
354	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
355	C₂	—	2	4	no	—
356	C₂	—	4	4	no	—
357	C₂	—	8	2	no	—
358	C₂	—	8	4	no	—
359	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#3488	1	2	yes	—
361	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#3506	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#535	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. C₂×#532	C₂	semidirect
4. C₂×#520	C₂	semidirect
5. #2548	C₂	semidirect
6. #2545	C₂	semidirect
7. #2544	C₂	semidirect
8. #2541	C₂	semidirect
9. #2424	C₂	semidirect
10. #2416	C₂	semidirect
11. #2414	C₂	semidirect
12. #2311	C₂	semidirect
13. #2296	C₂	semidirect
14. C₂×#390	C₂	semidirect
21. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#127	C₂²	semidirect
27. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×#124	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
37. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
43. C₂×#117	C₂²	semidirect
45. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
48. #396	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #394	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #390	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #389	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
64. #380	C₂²	semidirect
65. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
66. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₂×#41	D₄	semidirect
116. #117	D₄	semidirect
308. C₂×C₄	#121	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂×#532	2
C₂×#520	2
#2548	2
#2545	2
#2544	2
#2541	2
#2424	2
#2416	2
#2414	2
#2311	2
#2296	2
C₂×#390	2