Subgroups — #355374

Order 512.

1374 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1939	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10876	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10834	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10832	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10795	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1939	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
21	#1744	—	2	4	no	—
22	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#95	C₄	1	4	yes	—
30	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₈	1	16	yes	complemented
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₄³	—	4	4	no	—
67	C₄³	D₄	1	4	yes	—
68	C₄³	Q₈	1	4	yes	—
69	#336	—	2	2	no	—
70	#336	—	2	2	no	—
71	#336	—	2	4	no	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	#336	—	4	4	no	—
74	#336	—	4	4	no	—
75	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
136	C₂×C₄²	M₁₆	1	8	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
146	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
148	C₄×C₈	—	2	16	no	—
149	C₄×C₈	—	4	8	no	—
150	#95	—	2	4	no	—
151	#95	—	2	8	no	—
152	#95	C₄²	1	8	yes	—
153	#95	C₂×C₈	1	16	yes	—
154	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	8	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₄⋊C₄	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
230	C₄²	—	2	8	no	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	4	8	no	—
239	C₄²	—	4	16	no	—
240	C₄²	—	4	16	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	4	4	no	—
243	C₄²	C₄⋊C₈	1	32	yes	complemented
244	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
245	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	—
246	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
255	C₂³	#568	1	2	yes	—
256	C₂³	#568	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#431	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2275	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2276	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2316	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2319	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2320	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2875	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2875	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
329	C₂²	#2905	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×#431	1	2	yes	—
331	C₂²	#2923	1	2	yes	—
332	C₂²	#2972	1	2	yes	—
333	C₂²	#2975	1	2	yes	—
334	C₂²	#2982	1	2	yes	—
335	C₂²	#2983	1	2	yes	—
336	C₂²	#2988	1	2	yes	—
337	C₂²	#2988	1	2	yes	—
338	C₂²	#2989	1	2	yes	—
339	C₂²	#2989	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	8	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	C₄×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
347	C₄	#2323	1	2	yes	—
348	C₄	#2324	1	2	yes	—
349	C₄	#2330	1	2	yes	—
350	C₄	#2331	1	2	yes	—
351	C₂	#13783	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×C₄×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20427	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20555	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20568	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20569	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20570	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#21951	1	2	yes	—
359	C₂	#21972	1	2	yes	—
360	C₂	#22008	1	2	yes	—
361	C₂	#22018	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle, prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
19. #1939	C₄	semidirect
60. C₄×C₄⋊C₄	C₈	semidirect
229. C₄⋊C₄	C₄×C₈	semidirect
243. C₄²	C₄⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1939	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₂×#1744	2
C₄²×C₄⋊C₄	2
#10876	2
#10834	2
#10832	2
#10795	2