Subgroups — #355481

Order 512.

1554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1885	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20398	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10777	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10740	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
16	#2873	C₂²	1	2	yes	—
17	#2367	—	2	4	no	—
18	#2342	—	2	4	no	—
19	#2326	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1885	C₄	1	16	yes	complemented
26	C₄×#100	—	2	4	no	—
27	#1742	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#342	—	2	4	no	—
31	#1733	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#124	—	2	2	no	—
38	C₂×#124	—	2	4	no	—
39	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#519	—	4	4	no	—
43	#518	—	2	4	no	—
44	#518	—	4	4	no	—
45	#518	—	4	4	no	—
46	#518	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#419	—	4	4	no	—
63	#419	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
64	C₂×#103	—	4	4	no	—
65	C₂×#100	—	2	4	no	—
66	C₂×#100	—	2	4	no	—
67	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#405	—	4	4	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
70	#391	—	2	2	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	#390	—	2	2	no	—
73	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#388	—	2	8	no	—
75	#388	—	2	8	no	—
76	#385	—	2	8	no	—
77	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
78	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
79	#381	—	2	2	no	—
80	#380	—	2	2	no	—
81	#379	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	#376	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
87	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	#343	—	2	4	no	—
89	#342	—	2	4	no	—
90	#342	—	2	4	no	—
91	#339	—	4	4	no	—
92	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
93	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
94	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	#124	—	2	4	no	—
122	#124	—	2	4	no	—
123	#124	—	2	16	no	—
124	#124	C₄²	1	8	yes	—
125	#124	C₄²	1	8	yes	—
126	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	16	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	16	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	4	8	no	—
141	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	#103	—	4	16	no	—
176	#100	—	2	16	no	—
177	#97	—	4	4	no	—
178	C₄×C₈	—	4	4	no	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	—	8	4	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₄×D₄	1	8	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	8	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	8	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	8	4	no	—
274	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	8	8	no	—
283	C₂³	—	8	8	no	—
284	C₂³	—	16	2	no	—
285	C₂³	—	16	2	no	—
286	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂³	#534	1	2	yes	—
290	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	2	8	no	—
293	Q₈	—	4	4	no	—
294	Q₈	—	4	8	no	—
295	D₄	—	2	8	no	—
296	D₄	—	2	16	no	—
297	D₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	16	8	no	—
319	C₂×C₄	—	16	16	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
331	C₈	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2321	1	2	yes	—
347	C₂²	#2322	1	2	yes	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	#2275	1	2	yes	—
357	C₄	#2318	1	2	yes	—
358	C₄	#2325	1	4	yes	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	4	8	no	—
364	C₂	#13784	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#21784	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10947	C₂	semidirect
6. #10893	C₂	semidirect
7. #10824	C₂	semidirect
8. #10777	C₂	semidirect
19. #2326	C₄	semidirect
22. C₄×#124	C₄	semidirect
25. #1885	C₄	semidirect
48. C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
63. #419	C₂×C₄	semidirect
71. #391	C₂×C₄	semidirect
77. #384	C₂×C₄	semidirect
78. #382	C₂×C₄	semidirect
86. #376	C₂×C₄	semidirect
87. C₄³	C₂×C₄	semidirect
92. #339	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34211	2
C₂×#1885	2
#20398	2
#20354	2
#10947	2
#10893	2
#10824	2
#10777	2
#10740	2