Subgroups — #355486

Order 512.

1477 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1909	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20393	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10777	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10751	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
16	#2362	—	2	2	no	—
17	#2360	—	2	2	no	—
18	#2359	—	2	4	no	—
19	#2327	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2326	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2317	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₄×#124	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2274	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1909	C₄	1	16	yes	complemented
29	C₄×#99	—	2	4	no	—
30	#1742	—	2	2	no	—
31	#1742	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#343	—	2	2	no	—
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	#1740	C₂²	1	2	yes	—
35	#1733	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#568	—	2	4	no	—
41	#568	—	4	4	no	—
42	#568	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×#131	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	#536	—	2	4	no	—
47	#536	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#123	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	#520	—	4	4	no	—
53	#519	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#419	—	4	4	no	—
71	#419	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	C₂×#103	—	4	4	no	—
73	#410	—	2	4	no	—
74	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₂×#99	—	2	4	no	—
76	#391	—	2	2	no	—
77	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	#389	—	2	4	no	—
84	#389	—	2	2	no	—
85	#388	—	2	4	no	—
86	#388	—	2	4	no	—
87	#387	—	2	4	no	—
88	#387	—	2	4	no	—
89	#386	—	2	2	no	—
90	#385	—	2	4	no	—
91	#385	—	2	2	no	—
92	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×#95	—	2	2	no	—
104	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#343	—	2	2	no	—
106	#343	—	2	4	no	—
107	#343	—	2	2	no	—
108	#342	—	2	4	no	—
109	#339	—	4	4	no	—
110	#339	—	4	4	no	—
111	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#131	—	4	16	no	—
134	#131	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	complemented
148	#124	—	2	4	no	—
149	#124	C₄²	1	8	yes	complemented
150	#123	—	2	16	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	8	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	4	8	no	—
166	#117	—	4	4	no	—
167	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	#103	—	4	16	no	—
208	#99	—	2	16	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	2	no	—
216	#95	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	2	8	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
237	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
238	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	4	16	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	4	16	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	8	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	1	no	—
321	C₄²	—	4	1	no	—
322	C₄²	—	4	4	no	—
323	C₄²	—	8	2	no	—
324	C₄²	—	16	4	no	—
325	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
333	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₂³	#534	1	2	yes	—
336	C₂³	#537	1	2	yes	—
337	Q₈	—	2	4	no	—
338	Q₈	—	2	4	no	—
339	Q₈	—	2	8	no	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	Q₈	—	4	4	no	—
343	D₄	—	2	16	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	8	no	—
349	C₂×C₄	—	2	8	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	16	4	no	—
379	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
392	C₈	—	4	8	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2325	1	4	yes	—
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	4	no	—
415	C₄	—	8	1	no	—
416	C₄	—	8	8	no	—
417	C₄	—	8	1	no	—
418	C₄	—	8	1	no	—
419	C₄	#2275	1	2	yes	—
420	C₄	#2318	1	2	yes	—
421	C₄	#2321	1	2	yes	—
422	C₄	#2322	1	2	yes	—
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	4	no	—
426	C₂	—	4	4	no	—
427	C₂	#13784	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#21783	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#21784	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10957	C₂	semidirect
6. #10888	C₂	semidirect
7. #10816	C₂	semidirect
8. #10777	C₂	semidirect
19. #2327	C₄	semidirect
20. #2326	C₄	semidirect
22. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
23. C₄×#124	C₄	semidirect
28. #1909	C₄	semidirect
71. #419	C₂×C₄	semidirect
111. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect
147. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
149. #124	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34276	2
C₂×#1909	2
#20393	2
#20358	2
#10957	2
#10888	2
#10816	2
#10777	2
#10751	2