Subgroups — #355492

Order 512.

1623 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 445 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34265	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1914	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10762	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#535	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
16	#2873	C₂²	1	2	yes	—
17	#2367	—	2	2	no	—
18	#2366	—	2	2	no	—
19	#2363	—	2	2	no	—
20	#2361	—	2	2	no	—
21	#2321	C₄	1	4	yes	—
22	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#120	C₄	1	4	yes	—
24	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2274	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1914	C₄	1	16	yes	complemented
28	C₄×#101	—	2	2	no	—
29	C₄×#100	—	2	2	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	#1742	—	2	2	no	—
33	#1742	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#343	—	2	2	no	—
35	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
37	#1728	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	#568	—	2	4	no	—
42	#568	—	4	4	no	—
43	#568	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	C₂×#131	—	4	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#535	—	2	4	no	—
49	#535	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#124	—	2	1	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#120	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#520	—	4	4	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#413	—	2	4	no	—
71	#413	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×#101	—	2	2	no	—
73	C₂×#100	—	2	2	no	—
74	C₂×#100	—	4	4	no	—
75	C₂×#100	—	4	4	no	—
76	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
77	#405	—	4	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	#391	—	2	1	no	—
80	#390	—	2	1	no	—
81	#390	—	2	1	no	—
82	#390	—	2	1	no	—
83	#390	—	2	4	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	1	no	—
86	#389	—	2	1	no	—
87	#388	—	2	4	no	—
88	#388	—	2	4	no	—
89	#386	—	2	4	no	—
90	#386	—	2	4	no	—
91	#386	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#386	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#385	—	2	4	no	—
94	#385	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#385	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#379	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	#344	—	4	4	no	—
104	#344	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
105	#343	—	2	2	no	—
106	#343	—	2	4	no	—
107	#343	—	2	4	no	—
108	#343	—	2	2	no	—
109	#336	—	4	4	no	—
110	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#131	—	4	16	no	—
137	#131	—	4	16	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
156	#127	—	2	8	no	—
157	#124	—	2	8	no	—
158	#121	—	2	16	no	—
159	#120	—	2	8	no	—
160	#120	C₄²	1	16	yes	—
161	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	4	8	no	—
164	C₄×D₄	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	C₄×D₄	—	8	8	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	4	4	no	—
172	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#101	—	2	8	no	—
204	#100	—	2	8	no	—
205	#100	—	4	16	no	—
206	#97	—	4	4	no	—
207	C₄×C₈	—	4	4	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	8	2	no	—
218	C₂⁴	—	8	2	no	—
219	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
220	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	2	8	no	—
223	#41	—	2	8	no	—
224	#41	—	2	8	no	—
225	#41	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	16	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	1	no	—
241	C₂×D₄	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
248	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
249	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
282	M₁₆	—	2	8	no	—
283	M₁₆	—	2	8	no	—
284	M₁₆	—	2	8	no	—
285	M₁₆	—	2	8	no	—
286	M₁₆	—	4	16	no	—
287	M₁₆	—	4	4	no	—
288	M₁₆	—	4	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	4	16	no	—
294	C₂×C₈	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	4	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	4	4	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	—	4	1	no	—
324	C₄²	—	4	1	no	—
325	C₄²	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	2	8	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	1	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	8	8	no	—
344	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
345	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	#518	1	2	yes	—
349	C₂³	#520	1	2	yes	—
350	Q₈	—	2	8	no	—
351	D₄	—	2	8	no	—
352	D₄	—	2	8	no	—
353	D₄	—	2	8	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	8	16	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	1	no	—
379	C₂×C₄	—	4	1	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	1	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	—	8	16	no	—
385	C₂×C₄	—	16	4	no	—
386	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
398	C₈	—	4	8	no	—
399	C₈	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	2	1	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	1	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	4	no	—
405	C₂²	—	4	1	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	1	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	8	no	—
410	C₂²	—	4	2	no	—
411	C₂²	—	4	2	no	—
412	C₂²	—	4	4	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	8	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	8	no	—
417	C₂²	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	8	2	no	—
419	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2275	1	2	yes	—
421	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#2318	1	2	yes	—
424	C₄	—	2	4	no	—
425	C₄	—	4	4	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	4	4	no	—
428	C₄	—	4	2	no	—
429	C₄	—	4	2	no	—
430	C₄	—	8	2	no	—
431	C₄	—	8	1	no	—
432	C₄	#2321	1	2	yes	—
433	C₄	#2322	1	2	yes	—
434	C₄	#2325	1	4	yes	—
435	C₂	—	2	1	no	—
436	C₂	—	2	1	no	—
437	C₂	—	2	2	no	—
438	C₂	—	2	2	no	—
439	C₂	—	4	4	no	—
440	C₂	—	8	4	no	—
441	C₂	#13784	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#21778	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#21781	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#535	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20397	C₂	semidirect
4. #20358	C₂	semidirect
5. #10939	C₂	semidirect
6. #10919	C₂	semidirect
7. #10830	C₂	semidirect
8. #10762	C₂	semidirect
9. #10746	C₂	semidirect
27. #1914	C₄	semidirect
43. #568	C₂×C₄	semidirect
71. #413	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
104. #344	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34265	2
C₂×#1914	2
#20397	2
#20358	2
#10939	2
#10919	2
#10830	2
#10762	2
#10746	2