Subgroups — #355493

Order 512.

1463 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34266	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1915	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10763	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10746	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
16	#2873	C₂²	1	2	yes	—
17	#2367	—	2	2	no	—
18	#2365	—	2	2	no	—
19	#2362	—	2	2	no	—
20	#2360	—	2	2	no	—
21	#2322	C₄	1	4	yes	—
22	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#123	C₄	1	4	yes	—
24	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2274	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1915	C₄	1	16	yes	complemented
28	C₄×#101	—	2	2	no	—
29	C₄×#100	—	2	2	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	#1742	—	2	2	no	—
33	#1742	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#343	—	2	2	no	—
35	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
37	#1728	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#568	—	2	4	no	—
41	#568	—	4	4	no	—
42	#568	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×#131	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	#536	—	2	4	no	—
48	#536	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#124	—	2	1	no	—
51	C₂×#123	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	#520	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#413	—	2	4	no	—
70	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×#101	—	2	2	no	—
72	C₂×#101	—	4	4	no	—
73	C₂×#101	—	4	4	no	—
74	C₂×#101	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
75	C₂×#100	—	2	2	no	—
76	#405	—	4	4	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	#391	—	2	1	no	—
79	#391	—	2	1	no	—
80	#391	—	2	1	no	—
81	#391	—	2	2	no	—
82	#390	—	2	1	no	—
83	#389	—	2	4	no	—
84	#389	—	2	1	no	—
85	#389	—	2	1	no	—
86	#388	—	2	4	no	—
87	#388	—	2	4	no	—
88	#387	—	2	4	no	—
89	#387	—	2	4	no	—
90	#386	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#386	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#385	—	2	4	no	—
93	#385	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#385	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#381	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	#344	—	4	4	no	—
104	#344	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
105	#343	—	2	2	no	—
106	#343	—	2	4	no	—
107	#343	—	2	4	no	—
108	#343	—	2	2	no	—
109	#336	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#131	—	4	16	no	—
133	#131	—	4	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
153	#124	—	2	8	no	—
154	#123	—	2	8	no	—
155	#123	C₄²	1	16	yes	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	4	4	no	—
167	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#101	—	2	8	no	—
200	#101	—	4	16	no	—
201	#100	—	2	8	no	—
202	#97	—	4	4	no	—
203	C₄×C₈	—	4	4	no	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	—	2	2	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	2	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
236	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
270	M₁₆	—	2	8	no	—
271	M₁₆	—	2	8	no	—
272	M₁₆	—	2	8	no	—
273	M₁₆	—	2	8	no	—
274	M₁₆	—	4	16	no	—
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	M₁₆	—	4	4	no	—
277	M₁₆	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	4	16	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	4	4	no	—
308	C₄²	—	4	8	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	4	1	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#518	1	2	yes	—
325	C₂³	#520	1	2	yes	—
326	Q₈	—	2	8	no	—
327	Q₈	—	4	4	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	8	no	—
330	D₄	—	2	8	no	—
331	D₄	—	2	8	no	—
332	D₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	16	4	no	—
365	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
377	C₈	—	4	8	no	—
378	C₈	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2275	1	2	yes	—
393	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2318	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	8	1	no	—
405	C₄	#2321	1	2	yes	—
406	C₄	#2322	1	2	yes	—
407	C₄	#2325	1	4	yes	—
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	2	1	no	—
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	4	4	no	—
413	C₂	#13784	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#21779	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#21780	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10940	C₂	semidirect
6. #10919	C₂	semidirect
7. #10830	C₂	semidirect
8. #10763	C₂	semidirect
27. #1915	C₄	semidirect
74. C₂×#101	C₂×C₄	semidirect
104. #344	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34266	2
C₂×#1915	2
#20397	2
#20358	2
#10940	2
#10919	2
#10830	2
#10763	2
#10746	2