Subgroups — #355512

Order 512.

1614 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10924	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10790	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₄×#127	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₄×#121	—	2	2	no	—
16	C₄×#121	—	2	2	no	—
17	#2297	C₂²	1	2	yes	—
18	#2293	—	2	1	no	—
19	#2293	—	2	1	no	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
22	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1980	C₄	1	16	yes	complemented
27	#1745	—	2	1	no	—
28	#1745	—	2	1	no	—
29	#1744	—	2	1	no	—
30	#1744	—	2	1	no	—
31	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
35	#1434	—	2	2	no	—
36	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#121	—	2	1	no	—
45	C₂×#121	—	2	1	no	—
46	C₄×#41	—	4	8	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#104	—	4	8	no	—
65	C₂×#104	—	4	8	no	—
66	C₂×#104	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#390	—	2	2	no	—
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#389	—	2	2	no	—
77	#388	—	2	4	no	—
78	#388	—	2	4	no	—
79	#386	—	2	4	no	—
80	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#380	—	2	1	no	—
83	#380	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#376	—	4	4	no	—
95	C₂×#95	—	2	2	no	—
96	C₂×#95	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
104	#339	—	4	8	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	C₄²	1	4	yes	—
138	#124	—	2	4	no	—
139	#124	C₄²	1	8	yes	—
140	#121	—	2	8	no	—
141	#121	—	2	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	C₄×D₄	—	4	8	no	—
147	C₄×D₄	—	4	8	no	—
148	C₄×D₄	—	4	16	no	—
149	#117	—	2	8	no	—
150	#117	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
197	#104	—	4	32	no	—
198	#97	—	2	8	no	—
199	C₄×C₈	—	2	8	no	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	2	2	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	—	4	8	no	—
206	#95	—	4	8	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	2	16	no	—
210	#41	—	2	16	no	—
211	#41	—	4	8	no	—
212	#41	—	4	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	2	8	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	16	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	8	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	—	4	8	no	—
306	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
308	C₄²	#117	1	2	yes	—
309	C₄²	#117	1	2	yes	—
310	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
311	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
321	C₂³	#535	1	2	yes	—
322	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	2	8	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	D₄	—	2	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	16	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	16	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
381	C₈	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2326	1	2	yes	—
396	C₂²	#2328	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	4	4	no	—
407	C₄	—	8	8	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	#1759	1	4	yes	—
410	C₄	#2275	1	2	yes	—
411	C₄	#2319	1	2	yes	—
412	C₄	#2324	1	4	yes	—
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	2	2	no	—
415	C₂	—	8	4	no	—
416	C₂	#13785	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#1759	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₄×#421	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#21816	1	2	yes	—
420	C₂	#21900	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20364	C₂	semidirect
4. #13755	C₂	semidirect
5. #10924	C₂	semidirect
6. #10851	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
13. C₄×#127	C₄	semidirect
14. C₄×#124	C₄	semidirect
26. #1980	C₄	semidirect
66. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
68. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
89. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
C₂×#1980	2
#20364	2
#13755	2
#10924	2
#10851	2
#10790	2