Subgroups — #355513

Order 512.

1558 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34070	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10790	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2328	C₄	1	2	yes	complemented
15	#2327	C₄	1	2	yes	complemented
16	#2326	C₄	1	4	yes	complemented
17	#2325	—	2	4	no	—
18	#2297	C₂²	1	2	yes	—
19	#2290	—	2	4	no	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1980	C₄	1	16	yes	complemented
26	#1746	—	2	4	no	—
27	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	#1728	C₂²	1	2	yes	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	#1436	—	2	4	no	—
32	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#532	—	2	4	no	—
36	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×#121	—	2	2	no	—
41	C₄×#41	—	4	4	no	—
42	C₄×#41	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#104	—	4	4	no	—
58	C₂×#104	—	4	4	no	—
59	C₂×#104	—	4	4	no	—
60	C₂×#104	—	4	4	no	—
61	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
62	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
63	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#388	—	2	8	no	—
70	#387	—	2	8	no	—
71	#386	—	2	4	no	—
72	#386	—	2	8	no	—
73	#385	—	2	8	no	—
74	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#380	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	#376	—	4	2	no	—
82	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#376	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×#95	—	2	2	no	—
86	C₂×#95	—	2	4	no	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
89	C₄³	—	4	2	no	—
90	#339	—	4	4	no	—
91	#339	—	4	4	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	complemented
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	C₄²	1	4	yes	complemented
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	C₄²	1	8	yes	complemented
125	#121	—	2	8	no	—
126	#121	—	2	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	2	8	no	—
129	C₄×D₄	—	2	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	16	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	4	4	no	—
135	#117	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
172	#104	—	4	16	no	—
173	#104	—	4	16	no	—
174	#97	—	2	8	no	—
175	C₄×C₈	—	2	8	no	—
176	#95	—	2	8	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	—	4	8	no	—
180	#95	—	4	4	no	—
181	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
182	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	2	8	no	—
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
244	M₁₆	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	2	8	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	8	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	4	16	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
275	C₄²	#117	1	2	yes	—
276	C₄²	#117	1	2	yes	—
277	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
278	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	#535	1	2	yes	—
287	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	8	no	—
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	D₄	—	2	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	16	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2326	1	2	yes	—
352	C₂²	#2328	1	2	yes	—
353	C₂²	#2901	1	4	yes	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	4	8	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	#2275	1	2	yes	—
363	C₄	#2319	1	2	yes	—
364	C₄	#2324	1	4	yes	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	8	4	no	—
368	C₂	#13785	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20405	1	2	yes	—
370	C₂	#21817	1	2	yes	—
371	C₂	#21901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20365	C₂	semidirect
4. #13759	C₂	semidirect
5. #10924	C₂	semidirect
6. #10923	C₂	semidirect
7. #10851	C₂	semidirect
8. #10790	C₂	semidirect
14. #2328	C₄	semidirect
15. #2327	C₄	semidirect
16. #2326	C₄	semidirect
25. #1980	C₄	semidirect
61. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
64. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
79. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
120. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
122. #127	C₄²	semidirect
124. #124	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34070	2
C₂×#1980	2
#20365	2
#13759	2
#10924	2
#10923	2
#10851	2
#10790	2