Subgroups — #355519

Order 512.

2190 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10788	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#127	—	2	4	no	—
16	C₄×#127	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#390	—	2	1	no	—
18	C₂×#390	—	2	1	no	—
19	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#376	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1982	C₄	1	16	yes	complemented
25	#1767	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	#1434	—	2	1	no	—
31	#1434	—	2	1	no	—
32	C₄×#95	—	2	1	no	—
33	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
34	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×#102	—	4	8	no	—
68	C₂×#102	—	4	8	no	—
69	C₂×#102	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
70	C₂×#97	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	—	4	4	no	—
72	#390	—	2	8	no	—
73	#390	—	2	8	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
80	#376	—	4	4	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	C₂×#95	—	2	2	no	—
84	C₂×#95	—	2	2	no	—
85	C₂×#95	—	2	2	no	—
86	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₄³	D₄	1	4	yes	—
88	#340	—	4	8	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	C₂⁵	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	#127	—	2	8	no	—
126	#127	—	2	16	no	—
127	#127	C₄²	1	16	yes	—
128	C₄×D₄	—	4	16	no	—
129	C₄×D₄	—	4	16	no	—
130	C₄×D₄	—	4	32	no	—
131	C₄×D₄	—	4	32	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
175	#102	—	4	32	no	—
176	#97	—	4	8	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	#95	—	4	4	no	—
179	#95	—	4	4	no	—
180	#95	—	4	4	no	—
181	#95	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	8	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	4	4	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	16	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	2	16	no	—
198	C₂×D₄	—	2	16	no	—
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	4	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	32	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	16	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	2	8	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	16	no	—
288	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
289	C₄²	#117	1	4	yes	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	8	no	—
305	C₂³	—	8	8	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	4	no	—
308	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₂³	#535	1	2	yes	—
311	C₂³	#537	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#575	1	2	yes	—
317	D₄	—	2	16	no	—
318	D₄	—	4	32	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	32	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	32	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
362	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
374	C₈	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	8	16	no	—
383	C₂²	—	8	16	no	—
384	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2324	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#440	1	2	yes	—
393	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
394	C₂²	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
395	C₂²	#3214	1	2	yes	—
396	C₂²	#3216	1	2	yes	—
397	C₂²	#3217	1	4	yes	—
398	C₂²	#3251	1	4	yes	—
399	C₂²	#3253	1	2	yes	—
400	C₂²	#3254	1	2	yes	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	8	no	—
408	C₄	#1762	1	8	yes	—
409	C₄	#2275	1	2	yes	—
410	C₄	#2319	1	2	yes	—
411	C₄	#2326	1	2	yes	—
412	C₄	#2328	1	2	yes	—
413	C₂	—	8	8	no	—
414	C₂	#13785	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂×#1762	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₄×#418	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#21809	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#21810	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#21891	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#21893	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#22151	1	4	yes	—
422	C₂	#22153	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1767	C₂	semidirect
4. #13755	C₂	semidirect
5. #10927	C₂	semidirect
6. #10849	C₂	semidirect
7. #10788	C₂	semidirect
16. C₄×#127	C₄	semidirect
24. #1982	C₄	semidirect
66. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×#102	C₂×C₄	semidirect
79. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
C₂×#1982	2
C₂×#1767	2
#13755	2
#10927	2
#10849	2
#10788	2