Subgroups — #355541

Order 512.

1422 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21199	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1745	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10934	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10791	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2932	—	2	4	no	—
13	#2932	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#435	—	2	4	no	—
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1962	C₄	1	8	yes	complemented
26	#1961	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1960	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1959	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1771	—	2	4	no	—
30	#1745	—	2	4	no	—
31	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	4	4	no	—
39	C₂×#131	—	4	4	no	—
40	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#435	—	2	32	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#104	—	4	4	no	—
69	C₂×#104	—	4	4	no	—
70	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	#416	—	4	4	no	—
72	#416	—	4	4	no	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#408	—	2	4	no	—
76	#408	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
78	#405	—	4	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄³	—	2	2	no	—
93	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#341	—	4	4	no	—
95	#339	—	4	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	4	no	—
98	#336	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#131	—	4	16	no	—
116	#131	—	4	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	C₄²	1	4	yes	—
154	#124	—	2	4	no	—
155	#124	C₄²	1	8	yes	—
156	#121	—	2	8	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	8	no	—
159	C₄×D₄	—	2	8	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
185	#104	—	4	16	no	—
186	#103	—	4	8	no	—
187	#102	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	4	4	no	—
192	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
193	C₄×C₈	—	4	4	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	4	no	—
218	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	16	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	16	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	16	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	#540	1	2	yes	—
303	C₂³	#542	1	2	yes	—
304	Q₈	—	2	8	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	2	4	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2319	1	2	yes	—
364	C₂²	#2324	1	2	yes	—
365	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2956	1	4	yes	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	8	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	#2275	1	2	yes	—
374	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2324	1	2	yes	—
377	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	8	4	no	—
382	C₂	#13785	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20421	1	2	yes	—
384	C₂	#22237	1	2	yes	—
385	C₂	#22283	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20438	C₂	semidirect
5. C₂×#1745	C₂	semidirect
6. #10934	C₂	semidirect
7. #10845	C₂	semidirect
8. #10839	C₂	semidirect
9. #10791	C₂	semidirect
13. #2932	C₄	semidirect
25. #1962	C₄	semidirect
26. #1961	C₄	semidirect
27. #1960	C₄	semidirect
28. #1959	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2932	2
C₂×#1962	2
#21199	2
#20438	2
C₂×#1745	2
#10934	2
#10845	2
#10839	2
#10791	2