Subgroups — #355582

Order 512.

1550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1988	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10880	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10849	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10806	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#391	—	2	1	no	—
15	C₂×#389	—	2	1	no	—
16	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#376	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1988	C₄	1	16	yes	complemented
24	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	#1434	—	2	1	no	—
31	#1434	—	2	1	no	—
32	C₄×#95	—	2	1	no	—
33	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
63	#391	—	2	8	no	—
64	#389	—	2	8	no	—
65	#389	—	2	4	no	—
66	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#384	—	2	2	no	—
68	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#376	—	4	4	no	—
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄³	D₄	1	4	yes	—
84	#340	—	4	8	no	—
85	#340	C₂×C₄	1	32	yes	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	C₄⋊Q₈	C₄²	1	16	yes	—
110	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
162	C₄×C₈	—	4	8	no	—
163	#95	—	2	8	no	—
164	#95	—	2	8	no	—
165	#95	—	2	8	no	—
166	#95	—	4	4	no	—
167	#95	—	4	4	no	—
168	#95	—	4	4	no	—
169	#95	—	4	4	no	—
170	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	16	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	4	16	no	—
255	C₄²	—	4	16	no	—
256	C₄²	#102	1	16	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
258	C₄²	#117	1	4	yes	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
260	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂³	#536	1	2	yes	—
263	C₂³	#537	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
268	C₂³	#575	1	2	yes	—
269	Q₈	—	4	32	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×D₈	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#541	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
326	C₈	—	4	8	no	—
327	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2323	1	4	yes	—
331	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
337	C₂²	C₄×#137	1	4	yes	—
338	C₂²	#3226	1	2	yes	—
339	C₂²	#3229	1	2	yes	—
340	C₂²	#3233	1	4	yes	—
341	C₂²	#3245	1	2	yes	—
342	C₂²	#3246	1	2	yes	—
343	C₂²	#3248	1	4	yes	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	8	no	—
350	C₄	—	8	8	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	C₄×#102	1	8	yes	—
353	C₄	#2276	1	2	yes	—
354	C₄	#2320	1	2	yes	—
355	C₄	#2326	1	2	yes	—
356	C₄	#2327	1	2	yes	—
357	C₂	#13786	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×C₄×#102	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₄×#419	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#21833	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#21837	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#21884	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21889	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#22110	1	4	yes	—
365	C₂	#22112	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
23. #1988	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1988	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#13755	2
#10880	2
#10849	2
#10806	2