Subgroups — #355592

Order 512.

1602 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1990	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10885	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10841	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10807	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#391	—	2	1	no	—
14	C₂×#389	—	2	1	no	—
15	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1990	C₄	1	16	yes	complemented
25	#1744	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
31	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	4	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#391	—	2	8	no	—
63	#389	—	2	8	no	—
64	#389	—	2	4	no	—
65	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#384	—	2	2	no	—
67	#384	—	2	4	no	—
68	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄³	D₄	1	4	yes	—
83	#340	—	4	8	no	—
84	#340	C₂×C₄	1	32	yes	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
111	C₄⋊Q₈	C₄²	1	16	yes	complemented
112	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
165	C₄×C₈	—	2	16	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	#95	—	2	8	no	—
168	#95	—	4	4	no	—
169	#95	—	4	4	no	—
170	#95	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	4	16	no	—
261	C₄²	—	8	8	no	—
262	C₄²	#103	1	16	yes	—
263	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
264	C₄²	#117	1	4	yes	—
265	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#536	1	2	yes	—
270	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	32	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#541	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2326	1	2	yes	—
343	C₂²	#2327	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂×#440	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
352	C₂²	#3207	1	2	yes	—
353	C₂²	#3208	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3209	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3227	1	2	yes	—
356	C₂²	#3228	1	2	yes	—
357	C₂²	#3228	1	2	yes	—
358	C₂²	#3229	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3230	1	2	yes	—
360	C₂²	#3230	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3231	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	C₄×#103	1	8	yes	—
370	C₄	#1762	1	8	yes	—
371	C₄	#2276	1	2	yes	—
372	C₄	#2320	1	2	yes	—
373	C₄	#2323	1	4	yes	—
374	C₂	#13786	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×C₄×#103	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#1762	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#21834	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#21835	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21860	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#21863	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#22219	1	2	yes	—
382	C₂	#22221	1	2	yes	—
383	C₂	#22246	1	2	yes	—
384	C₂	#22248	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
24. #1990	C₄	semidirect
111. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1990	2
C₂×#1744	2
C₄×#384	2
#10885	2
#10841	2
#10807	2