Subgroups — #355601

Order 512.

1262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1995	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10886	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10840	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10808	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₄×#125	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
15	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
16	#2296	C₂²	1	2	yes	—
17	#2295	—	2	1	no	—
18	#2295	—	2	1	no	—
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
21	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1995	C₄	1	16	yes	complemented
26	#1767	—	2	1	no	—
27	#1767	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
29	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
30	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	#1434	—	2	2	no	—
34	#1434	—	2	2	no	—
35	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	#533	—	2	4	no	—
39	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#423	—	2	4	no	—
58	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	#391	—	2	2	no	—
65	#391	—	2	2	no	—
66	#389	—	2	2	no	—
67	#389	—	2	2	no	—
68	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#387	—	2	4	no	—
71	#387	—	2	4	no	—
72	#385	—	2	4	no	—
73	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#380	—	2	1	no	—
76	#380	—	2	1	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
88	#376	—	2	2	no	—
89	#376	—	2	4	no	—
90	#376	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	C₂×#95	—	2	2	no	—
92	C₂×#95	—	2	2	no	—
93	C₂×#95	—	2	4	no	—
94	C₂×#95	—	2	4	no	—
95	C₄³	—	2	2	no	—
96	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#339	—	4	8	no	—
103	#339	C₂×C₄	1	32	yes	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
122	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	C₄²	1	8	yes	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
185	#97	—	4	4	no	—
186	C₄×C₈	—	4	4	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	2	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	8	no	—
195	#95	—	4	8	no	—
196	#95	—	4	8	no	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
235	M₁₆	—	2	16	no	—
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	1	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	8	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	4	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	4	8	no	—
280	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
282	C₄²	#117	1	2	yes	—
283	C₄²	#117	1	2	yes	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	#536	1	2	yes	—
291	C₂³	#537	1	2	yes	—
292	Q₈	—	4	8	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	8	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#541	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
342	C₈	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2323	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	4	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	8	8	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	#2276	1	2	yes	—
366	C₄	#2320	1	2	yes	—
367	C₄	#2326	1	2	yes	—
368	C₄	#2327	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	#13786	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₄×#421	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₄×#421	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#21845	1	2	yes	—
374	C₂	#21857	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
13. C₄×#125	C₄	semidirect
25. #1995	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
C₂×#1995	2
C₄×#423	2
#13757	2
#10886	2
#10840	2
#10808	2