Subgroups — #355613

Order 512.

1064 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21337	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10914	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10803	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2960	—	2	2	no	—
12	#2960	—	2	2	no	—
13	#2960	—	2	2	no	—
14	#2960	—	2	2	no	—
15	C₂×#446	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1998	C₄	1	4	yes	complemented
27	#1997	C₄	1	4	yes	complemented
28	#1996	C₄	1	8	yes	—
29	#1770	—	2	2	no	—
30	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	#1746	—	2	2	no	—
32	#1744	—	2	2	no	—
33	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
35	#1742	C₂²	1	4	yes	—
36	#1740	C₂²	1	4	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#533	—	2	1	no	—
46	#533	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	1	no	—
50	#533	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#446	—	2	4	no	—
60	#446	—	2	4	no	—
61	#446	—	2	4	no	—
62	#446	—	2	4	no	—
63	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
64	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
67	#424	—	2	4	no	—
68	#424	—	2	2	no	—
69	#424	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	1	no	—
71	#423	—	2	1	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	#405	—	2	4	no	—
80	#405	—	2	4	no	—
81	#405	—	4	4	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	#384	—	2	1	no	—
99	#382	—	2	1	no	—
100	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	#376	—	2	1	no	—
105	C₄³	—	2	1	no	—
106	#344	—	4	4	no	—
107	#344	—	4	4	no	—
108	#343	C₂×C₄	1	16	yes	—
109	#342	C₂×C₄	1	16	yes	—
110	#336	—	2	4	no	—
111	#336	—	2	4	no	—
112	#336	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	#125	—	2	2	no	—
150	#125	—	2	2	no	—
151	#125	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	#97	—	2	8	no	—
199	#97	—	2	2	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	#97	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	4	no	—
206	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	4	8	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₄²	#117	1	2	yes	—
297	C₄²	#117	1	2	yes	—
298	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
303	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#519	1	2	yes	—
309	C₂³	#520	1	2	yes	—
310	Q₈	—	4	8	no	—
311	Q₈	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2276	1	2	yes	—
360	C₂²	#2323	1	2	yes	—
361	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	#1757	1	4	yes	—
370	C₄	#2310	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2320	1	2	yes	—
373	C₄	#2323	1	2	yes	—
374	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2327	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	#13786	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×#1757	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. C₂×#446	C₄	semidirect
16. C₂×C₈×Q₈	C₄	semidirect
26. #1998	C₄	semidirect
27. #1997	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2960	2
#21337	2
#21332	2
#20437	2
#20366	2
#10914	2
#10856	2
#10855	2
#10803	2