Subgroups — #35565

Order 256.

2073 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 255 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#525	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2541	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2540	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#537	—	2	8	no	—
15	#535	—	2	16	no	—
16	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#127	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#525	—	2	16	no	—
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#121	—	2	8	no	—
24	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#399	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#41	—	2	8	no	—
45	C₂×#41	—	2	8	no	—
46	C₂×#41	—	2	8	no	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
52	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#127	—	2	16	no	—
67	#127	—	4	16	no	—
68	#124	—	2	16	no	—
69	#123	—	2	16	no	—
70	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
71	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
72	#121	—	2	16	no	—
73	#121	—	2	32	no	—
74	#121	—	2	16	no	—
75	#121	—	2	16	no	—
76	#121	—	2	32	no	—
77	#120	—	2	16	no	—
78	#120	—	2	32	no	—
79	C₄×D₄	—	2	32	no	—
80	#117	D₄	1	16	yes	complemented
81	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
95	#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	4	no	—
99	C₂⁴	—	2	4	no	—
100	C₂⁴	—	2	8	no	—
101	C₂⁴	—	4	2	no	—
102	C₂⁴	—	4	4	no	—
103	C₂⁴	—	4	4	no	—
104	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	#41	—	4	32	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂×D₄	—	2	16	no	—
116	C₂×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂×D₄	—	2	16	no	—
118	C₂×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	32	no	—
126	C₂×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂×D₄	—	4	16	no	—
130	C₂×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂×D₄	—	4	32	no	—
133	C₂×D₄	—	4	16	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
155	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
156	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
162	C₄²	—	4	8	no	—
163	C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	8	no	—
167	C₂³	—	2	4	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	4	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	8	no	—
178	C₂³	—	2	8	no	—
179	C₂³	—	2	8	no	—
180	C₂³	—	4	16	no	—
181	C₂³	—	4	4	no	—
182	C₂³	—	4	8	no	—
183	C₂³	—	4	8	no	—
184	C₂³	—	4	4	no	—
185	C₂³	—	4	8	no	—
186	C₂³	—	8	16	no	—
187	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
188	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
190	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	4	8	no	—
192	D₄	—	4	32	no	—
193	D₄	—	4	32	no	—
194	D₄	—	4	16	no	—
195	D₄	—	4	16	no	—
196	D₄	—	4	8	no	—
197	D₄	—	8	8	no	—
198	D₄	—	8	32	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₄	—	4	16	no	—
210	C₂×C₄	—	4	16	no	—
211	C₂×C₄	#127	1	16	yes	complemented
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	8	no	—
220	C₂²	—	2	4	no	—
221	C₂²	—	2	8	no	—
222	C₂²	—	4	16	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	4	4	no	—
226	C₂²	—	4	4	no	—
227	C₂²	—	4	4	no	—
228	C₂²	—	4	4	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	8	no	—
233	C₂²	—	4	8	no	—
234	C₂²	—	4	16	no	—
235	C₂²	—	8	16	no	—
236	C₂²	C₂×#127	1	4	yes	—
237	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²	#585	1	2	yes	—
241	C₄	—	2	8	no	—
242	C₄	—	2	16	no	—
243	C₄	—	4	2	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	C₂×#127	1	8	yes	—
246	C₂	—	2	4	no	—
247	C₂	—	4	4	no	—
248	C₂	—	8	4	no	—
249	C₂	—	8	4	no	—
250	C₂	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
253	C₂	#3488	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#537	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. C₂×#525	C₂	semidirect
4. C₂²×#121	C₂	semidirect
5. #2541	C₂	semidirect
6. #2540	C₂	semidirect
7. #2539	C₂	semidirect
8. #2433	C₂	semidirect
9. #2274	C₂	semidirect
16. C₂×#127	C₂²	semidirect
17. C₂×#127	C₂²	semidirect
18. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
35. #399	C₂²	semidirect
36. #392	C₂²	semidirect
37. #392	C₂²	semidirect
38. #390	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
80. #117	D₄	semidirect
81. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
155. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
163. C₄²	C₂×D₄	semidirect
211. C₂×C₄	#127	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#537	2
C₂×#535	2
C₂×#525	2
C₂²×#121	2
#2541	2
#2540	2
#2539	2
#2433	2
#2274	2