Subgroups — #35574

Order 256.

1295 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 281 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2579	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2452	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2451	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2440	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2409	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
20	#520	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#398	C₂²	1	8	yes	—
34	#396	C₂²	1	8	yes	—
35	#395	C₂²	1	8	yes	—
36	#393	C₂²	1	8	yes	—
37	#391	C₂²	1	2	yes	—
38	#391	C₂²	1	8	yes	—
39	#391	C₂²	1	2	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#389	C₂²	1	4	yes	—
43	#389	C₂²	1	4	yes	—
44	#389	C₂²	1	4	yes	—
45	#389	C₂²	1	2	yes	—
46	#389	C₂²	1	2	yes	—
47	#387	C₂²	1	8	yes	—
48	#386	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	2	yes	—
50	#386	C₂²	1	2	yes	—
51	#385	C₂²	1	4	yes	—
52	#385	C₂²	1	2	yes	—
53	#385	C₂²	1	8	yes	—
54	#385	C₂²	1	2	yes	—
55	#384	C₂²	1	2	yes	—
56	#382	C₂²	1	2	yes	—
57	#380	C₂²	1	4	yes	—
58	#380	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
61	C₂×#41	—	2	4	no	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
64	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
80	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₄×D₄	—	2	16	no	—
82	C₄×D₄	—	2	8	no	—
83	#117	—	2	4	no	—
84	#117	—	2	4	no	—
85	#117	—	2	4	no	—
86	#117	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
119	#95	C₂³	1	4	yes	—
120	#95	C₂³	1	4	yes	—
121	#95	C₂³	1	4	yes	—
122	#95	C₂³	1	4	yes	—
123	#95	C₂³	1	8	yes	—
124	#95	C₂³	1	8	yes	—
125	#95	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	#41	—	2	32	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
135	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
141	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
157	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₄²	—	2	4	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	—	2	8	no	—
193	C₄²	—	2	4	no	—
194	C₄²	—	2	4	no	—
195	C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
203	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
204	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
207	Q₈	—	2	8	no	—
208	Q₈	—	4	32	no	—
209	D₄	—	2	16	no	—
210	D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂×C₄	—	8	8	no	—
236	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	4	no	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	2	4	no	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	4	2	no	—
254	C₂²	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	4	4	no	—
256	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
261	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
262	C₄	—	2	4	no	—
263	C₄	—	2	4	no	—
264	C₄	—	2	8	no	—
265	C₄	—	2	4	no	—
266	C₄	—	4	4	no	—
267	C₄	—	4	2	no	—
268	C₄	—	4	2	no	—
269	C₄	—	4	4	no	—
270	C₄	—	4	4	no	—
271	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
273	C₂	—	2	4	no	—
274	C₂	—	4	4	no	—
275	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
277	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
278	C₂	#3503	1	2	yes	—
279	C₂	#3511	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2579	C₂	semidirect
4. #2452	C₂	semidirect
5. #2451	C₂	semidirect
6. #2440	C₂	semidirect
7. #2439	C₂	semidirect
8. #2409	C₂	semidirect
9. #2317	C₂	semidirect
10. #2316	C₂	semidirect
13. #2296	C₂	semidirect
63. C₂×#41	Q₈	semidirect
135. C₂×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
141. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
156. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
236. C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×#520	2
#2579	2
#2452	2
#2451	2
#2440	2
#2439	2
#2409	2
#2317	2
#2316	2
#2311	2
#2297	2
#2296	2