Subgroups — #355898

Order 512.

3562 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#407	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#10715	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#10712	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂³×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#407	—	2	8	no	—
10	C₂×#407	—	2	8	no	—
11	C₂×#407	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#95	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	complemented
19	C₂⁶	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
21	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
25	C₂⁴×C₄	D₄	1	4	yes	—
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	8	yes	—
27	C₂⁴×C₄	Q₈	1	4	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	4	16	no	—
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
34	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
39	C₂²×C₄²	—	4	8	no	—
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
42	#407	—	2	64	no	—
43	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
44	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
45	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
49	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂×#95	—	2	8	no	—
53	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#336	—	4	16	no	—
55	C₂⁵	—	2	8	no	—
56	C₂⁵	—	4	4	no	—
57	C₂⁵	—	4	4	no	—
58	C₂⁵	C₄²	1	4	yes	—
59	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
61	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
62	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
74	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
75	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
80	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
83	C₂³×C₄	M₁₆	1	16	yes	complemented
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
99	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
116	#95	—	2	16	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	—	2	8	no	—
120	C₂⁴	—	2	8	no	—
121	C₂⁴	—	2	8	no	—
122	C₂⁴	—	2	16	no	—
123	C₂⁴	—	2	16	no	—
124	C₂⁴	—	2	16	no	—
125	C₂⁴	—	4	8	no	—
126	C₂⁴	—	4	8	no	—
127	C₂⁴	—	4	8	no	—
128	C₂⁴	—	4	8	no	—
129	C₂⁴	—	4	8	no	—
130	C₂⁴	—	4	8	no	—
131	C₂⁴	—	4	32	no	—
132	C₂⁴	—	4	32	no	—
133	C₂⁴	#95	1	16	yes	—
134	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
135	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
136	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
141	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
171	C₂²×C₄	#95	1	32	yes	—
172	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
191	M₁₆	—	4	64	no	—
192	C₂×C₈	—	2	16	no	—
193	C₂×C₈	—	2	32	no	—
194	C₂×C₈	—	4	16	no	—
195	C₂×C₈	—	4	16	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
197	C₄²	—	4	16	no	—
198	C₄²	—	4	16	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	16	no	—
205	C₂³	—	2	16	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	8	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	8	no	—
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	32	no	—
216	C₂³	—	2	8	no	—
217	C₂³	—	4	16	no	—
218	C₂³	—	4	16	no	—
219	C₂³	—	4	64	no	—
220	C₂³	—	4	64	no	—
221	C₂³	—	4	64	no	—
222	C₂³	—	4	16	no	—
223	C₂³	—	4	16	no	—
224	C₂³	C₂×#95	1	8	yes	—
225	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
226	C₂³	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
227	C₂³	#407	1	8	yes	—
228	C₂³	#423	1	8	yes	—
229	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	#518	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
234	C₂³	#568	1	4	yes	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂×C₄	—	4	32	no	—
251	C₂×C₄	—	4	64	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
260	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	#534	1	8	yes	—
262	C₂×C₄	#543	1	4	yes	—
263	C₈	—	4	16	no	—
264	C₂²	—	2	16	no	—
265	C₂²	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	16	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	16	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	—	4	64	no	—
273	C₂²	—	4	16	no	—
274	C₂²	—	4	16	no	—
275	C₂²	—	4	16	no	—
276	C₂²	#1728	1	8	yes	—
277	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	#2273	1	2	yes	—
279	C₂²	#2308	1	2	yes	—
280	C₂²	#2315	1	2	yes	—
281	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
282	C₂²	#2873	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂×#407	1	2	yes	—
284	C₂²	#2879	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
286	C₂²	#2905	1	2	yes	—
287	C₂²	#2973	1	8	yes	—
288	C₂²	#2975	1	8	yes	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	2	8	no	—
291	C₄	—	4	16	no	—
292	C₄	#2308	1	4	yes	—
293	C₄	#2315	1	4	yes	—
294	C₂	—	2	8	no	—
295	C₂	—	4	8	no	—
296	C₂	#13794	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#1728	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#20335	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#20524	1	4	yes	—
300	C₂	#21742	1	4	yes	—
301	C₂	#21934	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #10715	C₂	semidirect
4. #10712	C₂	semidirect
11. C₂×#407	C₄	semidirect
18. C₂×#336	C₂²	semidirect
33. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
48. C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
83. C₂³×C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#407	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2
#10715	2
#10712	2