Subgroups — #355996

Order 512.

1746 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34052	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10851	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10733	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2921	—	2	4	no	—
11	#2921	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#433	—	2	4	no	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#2317	C₄	1	8	yes	complemented
17	#2316	—	2	2	no	—
18	#2315	—	2	2	no	—
19	#2298	—	2	4	no	—
20	#2298	C₄	1	8	yes	complemented
21	#2296	—	2	4	no	—
22	C₂×#388	—	2	2	no	—
23	C₂×#387	—	2	2	no	—
24	#2285	C₂²	1	2	yes	—
25	#2285	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×#117	—	2	2	no	—
35	C₂×#117	—	2	2	no	—
36	C₂×#117	—	4	8	no	—
37	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#433	—	2	32	no	—
58	#423	—	2	4	no	—
59	#423	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
61	#407	—	2	4	no	—
62	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	#389	—	2	16	no	—
69	#388	—	2	16	no	—
70	#387	—	2	16	no	—
71	#385	—	2	16	no	—
72	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#380	—	2	4	no	—
77	#380	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#376	—	2	2	no	—
85	#376	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×#95	—	2	2	no	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	2	no	—
89	C₄³	—	2	2	no	—
90	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
91	#339	—	4	8	no	—
92	#339	—	4	8	no	—
93	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	#117	—	2	8	no	—
116	#117	—	4	8	no	—
117	#117	—	4	8	no	—
118	#117	—	4	8	no	—
119	#117	C₄²	1	16	yes	—
120	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
121	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
122	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
168	#97	—	2	8	no	—
169	C₄×C₈	—	2	8	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	#95	—	2	8	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	8	no	—
174	#95	—	2	8	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
228	M₁₆	—	2	16	no	—
229	M₁₆	—	4	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
238	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	#95	1	32	yes	—
243	C₄²	—	2	8	no	—
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	—	4	16	no	—
246	C₄²	—	4	8	no	—
247	C₄²	—	4	4	no	—
248	C₄²	—	4	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
252	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	8	4	no	—
268	C₂³	—	8	4	no	—
269	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#535	1	2	yes	—
274	C₂³	#536	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	16	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	16	no	—
302	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2311	1	2	yes	—
332	C₂²	#2317	1	2	yes	—
333	C₂²	#2901	1	4	yes	—
334	C₄	—	2	8	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	—	8	8	no	—
340	C₄	#2274	1	2	yes	—
341	C₄	#2311	1	2	yes	—
342	C₄	#2316	1	2	yes	—
343	C₄	#2317	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	#13795	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20343	1	2	yes	—
349	C₂	#21817	1	2	yes	—
350	C₂	#21846	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10851	C₂	semidirect
5. #10840	C₂	semidirect
6. #10839	C₂	semidirect
11. #2921	C₄	semidirect
16. #2317	C₄	semidirect
20. #2298	C₄	semidirect
59. #423	C₂×C₄	semidirect
65. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
81. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
85. #376	C₂×C₄	semidirect
90. C₄³	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2921	2
#34052	2
C₂×#2298	2
#10851	2
#10840	2
#10839	2
#10733	2