Subgroups — #356017

Order 512.

1150 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20385	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#10800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#10799	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10716	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
13	#2280	C₂²	1	2	yes	—
14	#1752	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
22	#1729	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1729	C₂²	1	2	yes	—
24	#1729	C₂²	1	2	yes	—
25	#1729	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	C₄	1	4	yes	complemented
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#117	—	2	1	no	—
44	C₂×#117	—	2	1	no	—
45	C₂×#117	—	4	2	no	—
46	C₂×#117	—	4	2	no	—
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#407	—	2	2	no	—
54	#407	—	2	2	no	—
55	#407	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#405	—	4	4	no	—
58	#405	—	4	4	no	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#381	—	2	2	no	—
62	#380	—	2	4	no	—
63	#379	—	2	2	no	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#338	—	4	2	no	—
66	#338	—	4	2	no	—
67	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
68	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
69	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
70	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
71	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	#117	—	2	4	no	—
129	#117	—	2	4	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	4	2	no	—
135	#117	—	4	2	no	—
136	#117	—	4	4	no	—
137	#117	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
154	#97	—	4	8	no	—
155	C₄×C₈	—	4	8	no	—
156	#95	—	2	8	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
161	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
162	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
203	M₁₆	—	4	8	no	—
204	M₁₆	—	4	4	no	—
205	M₁₆	—	4	4	no	—
206	M₁₆	—	4	4	no	—
207	M₁₆	—	4	4	no	—
208	M₁₆	—	4	4	no	—
209	M₁₆	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	8	no	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	#376	1	2	yes	—
260	C₂³	#376	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
263	C₂³	#538	1	2	yes	—
264	C₂³	#539	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
300	C₈	—	2	4	no	—
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	4	2	no	—
303	C₈	—	4	2	no	—
304	C₈	—	4	8	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	16	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	#1747	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2312	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2313	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2318	1	4	yes	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	8	8	no	—
326	C₄	—	8	4	no	—
327	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2312	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#2313	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#2318	1	4	yes	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	—	4	2	no	—
337	C₂	#13796	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#1747	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#376
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #10800	C₂	semidirect
4. #10799	C₂	semidirect
14. #1752	C₄	semidirect
15. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
22. #1729	C₄	semidirect
26. C₂×#336	C₄	semidirect
59. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
73. #336	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20385	2
C₂×#1729	2
#10800	2
#10799	2
C₂²⋊#338	2
#10717	2
#10716	2