Subgroups — #356021

Order 512.

1694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10797	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10795	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10714	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#336	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#95	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×#95	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
29	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
30	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
31	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₈	1	16	yes	complemented
52	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₄³	—	4	4	no	—
56	#336	—	4	8	no	—
57	#336	—	4	8	no	—
58	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
65	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
66	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
69	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
72	C₂³×C₄	M₁₆	1	8	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
92	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
99	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
107	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
108	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
122	C₄×C₈	—	4	8	no	—
123	#95	—	2	8	no	—
124	#95	—	2	8	no	—
125	#95	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
126	C₂⁴	—	2	2	no	—
127	C₂⁴	—	2	2	no	—
128	C₂⁴	—	2	2	no	—
129	C₂⁴	—	2	2	no	—
130	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
131	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
134	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
164	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	16	yes	—
165	C₂²×C₄	#97	1	16	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
173	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	—	2	8	no	—
186	C₂×C₈	—	2	8	no	—
187	C₂×C₈	—	2	8	no	—
188	C₂×C₈	—	2	8	no	—
189	C₂×C₈	—	2	8	no	—
190	C₂×C₈	—	2	8	no	—
191	C₂×C₈	—	4	32	no	—
192	C₂×C₈	—	4	8	no	—
193	C₂×C₈	—	4	16	no	—
194	C₂×C₈	—	4	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
196	C₄²	—	2	4	no	—
197	C₄²	—	2	4	no	—
198	C₄²	—	2	4	no	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	4	4	no	—
201	C₄²	—	4	4	no	—
202	C₄²	—	4	16	no	—
203	C₄²	—	4	16	no	—
204	C₄²	—	4	8	no	—
205	C₄²	—	4	8	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	8	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	8	no	—
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	#376	1	4	yes	—
217	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
218	C₂³	C₂×#97	1	4	yes	—
219	C₂³	#431	1	16	yes	—
220	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
222	C₂³	#518	1	2	yes	—
223	C₂³	#520	1	2	yes	—
224	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
225	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
226	C₂³	#568	1	2	yes	—
227	C₂³	#568	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂×C₄	—	4	16	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
268	C₂×C₄	#539	1	8	yes	—
269	C₈	—	4	8	no	—
270	C₈	—	4	8	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	32	no	—
278	C₂²	#1744	1	8	yes	—
279	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#2318	1	4	yes	—
283	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×#431	1	4	yes	—
288	C₂²	#2923	1	4	yes	—
289	C₂²	#2972	1	4	yes	—
290	C₂²	#2973	1	4	yes	—
291	C₂²	#2988	1	4	yes	—
292	C₂²	#2989	1	4	yes	—
293	C₄	—	2	4	no	—
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	2	4	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	4	16	no	—
299	C₄	#2312	1	2	yes	—
300	C₄	#2313	1	2	yes	—
301	C₄	#2318	1	4	yes	—
302	C₂	—	2	8	no	—
303	C₂	#13796	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂×#1744	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#20367	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#20523	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20526	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20543	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20547	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#21996	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10797	C₂	semidirect
5. #10795	C₂	semidirect
15. C₄×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
16. C₂×#336	C₄	semidirect
51. C₄×C₂²⋊C₄	C₈	semidirect
116. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect
125. #95	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
C₂²×#336	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2
#10797	2
#10795	2
#10714	2