Subgroups — #356022

Order 512.

1602 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 255 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10797	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10795	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10715	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
15	#1728	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#95	C₄	1	4	yes	—
22	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
33	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
46	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₄³	—	4	4	no	—
50	#336	—	4	8	no	—
51	#336	—	4	8	no	—
52	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
62	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
72	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
73	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
74	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
95	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
96	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
97	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
104	C₄×C₈	—	4	8	no	—
105	#95	—	2	8	no	—
106	#95	—	2	8	no	—
107	#95	M₁₆	1	16	yes	complemented
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	4	no	—
111	C₂⁴	—	2	4	no	—
112	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
113	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
114	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
138	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
142	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
143	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
146	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
153	M₁₆	—	4	32	no	—
154	C₂×C₈	—	2	8	no	—
155	C₂×C₈	—	2	8	no	—
156	C₂×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂×C₈	—	2	8	no	—
158	C₂×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂×C₈	—	2	8	no	—
160	C₂×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂×C₈	—	4	16	no	—
162	C₂×C₈	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
164	C₄²	—	2	4	no	—
165	C₄²	—	2	4	no	—
166	C₄²	—	2	4	no	—
167	C₄²	—	2	4	no	—
168	C₄²	—	4	8	no	—
169	C₄²	—	4	32	no	—
170	C₄²	—	4	8	no	—
171	C₄²	—	4	8	no	—
172	C₂³	—	2	8	no	—
173	C₂³	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	2	4	no	—
175	C₂³	—	2	8	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	4	8	no	—
180	C₂³	—	4	4	no	—
181	C₂³	—	4	4	no	—
182	C₂³	#376	1	4	yes	—
183	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
185	C₂³	#518	1	2	yes	—
186	C₂³	#520	1	2	yes	—
187	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
188	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂×C₄	—	2	16	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂×C₄	—	2	16	no	—
204	C₂×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
211	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
214	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
220	C₂×C₄	#539	1	8	yes	—
221	C₈	—	4	8	no	—
222	C₈	—	4	8	no	—
223	C₂²	—	2	4	no	—
224	C₂²	—	2	4	no	—
225	C₂²	—	2	4	no	—
226	C₂²	—	4	4	no	—
227	C₂²	—	4	4	no	—
228	C₂²	—	4	16	no	—
229	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#2318	1	4	yes	—
233	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
234	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
235	C₂²	#2920	1	4	yes	—
236	C₂²	#2922	1	4	yes	—
237	C₂²	#2974	1	8	yes	—
238	C₂²	#2990	1	4	yes	—
239	C₂²	#2991	1	4	yes	—
240	C₄	—	2	8	no	—
241	C₄	—	2	8	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	4	16	no	—
244	C₄	#2312	1	2	yes	—
245	C₄	#2313	1	2	yes	—
246	C₄	#2318	1	4	yes	—
247	C₂	—	4	4	no	—
248	C₂	#13796	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#20364	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#20366	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#20525	1	2	yes	—
252	C₂	#20550	1	2	yes	—
253	C₂	#21998	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10797	C₂	semidirect
5. #10795	C₂	semidirect
14. C₄×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
15. #1728	C₄	semidirect
107. #95	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
C₂×#1728	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2
#10797	2
#10795	2
#10715	2