Subgroups — #356066

Order 512.

2319 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20401	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10941	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10769	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
12	#2888	—	2	8	no	—
13	C₂×#413	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂²×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2883	—	2	8	no	—
21	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#99	C₄	1	8	yes	—
25	#2879	C₂²	1	2	yes	—
26	#2873	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1785	C₄	1	4	yes	complemented
28	#1783	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1757	—	2	8	no	—
30	C₄×#100	—	2	8	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1742	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
38	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#568	—	2	8	no	—
48	#568	—	4	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	#518	—	2	8	no	—
56	#518	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#413	—	2	4	no	—
63	#413	—	2	4	no	—
64	#413	—	2	8	no	—
65	#413	—	2	16	no	—
66	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×#100	—	2	4	no	—
69	C₂×#100	—	2	4	no	—
70	C₂×#100	—	2	4	no	—
71	C₂×#100	—	2	16	no	—
72	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×#100	D₄	1	8	yes	—
78	#410	—	2	4	no	—
79	#410	—	2	8	no	—
80	#410	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×#99	—	2	32	no	—
82	C₂×#99	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×#99	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#99	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#408	—	4	4	no	—
86	#407	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	#405	—	2	8	no	—
88	#405	—	4	4	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
90	#344	—	2	8	no	—
91	#344	—	4	4	no	—
92	#343	—	2	8	no	—
93	C₂⁵	C₄²	1	4	yes	—
94	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
96	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
97	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
98	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂×#41	—	4	4	no	—
114	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
132	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
133	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#131	—	4	16	no	—
148	#131	—	4	16	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	16	no	—
171	C₄×D₄	—	4	16	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	#101	—	2	8	no	—
186	#101	—	2	8	no	—
187	#100	—	2	8	no	—
188	#100	—	2	16	no	—
189	#100	—	2	8	no	—
190	#100	—	2	8	no	—
191	#100	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
192	#99	—	2	8	no	—
193	#99	—	2	16	no	—
194	#99	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
195	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
196	#97	—	4	8	no	—
197	C₄×C₈	—	4	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	—	2	2	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	8	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	16	2	no	—
205	C₂⁴	—	16	4	no	—
206	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
207	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₂⁴	C₄×D₄	1	8	yes	—
210	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	4	16	no	—
216	#41	—	4	16	no	—
217	#41	—	4	32	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	1	no	—
239	C₂×D₄	—	2	1	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	16	no	—
254	C₂×D₄	—	4	16	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	32	no	—
258	C₂×D₄	—	4	32	no	—
259	C₂×D₄	—	4	32	no	—
260	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
263	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
264	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
265	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
289	M₁₆	—	2	4	no	—
290	M₁₆	—	2	8	no	—
291	M₁₆	—	2	4	no	—
292	M₁₆	—	2	8	no	—
293	M₁₆	—	2	8	no	—
294	M₁₆	—	2	4	no	—
295	M₁₆	—	4	16	no	—
296	M₁₆	—	4	4	no	—
297	M₁₆	—	4	4	no	—
298	M₁₆	—	4	4	no	—
299	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	8	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	4	16	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
314	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
315	C₄²	—	2	8	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	2	8	no	—
318	C₂³	—	2	8	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	4	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	16	no	—
327	C₂³	—	8	1	no	—
328	C₂³	—	8	8	no	—
329	C₂³	—	8	4	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	—	16	2	no	—
333	C₂³	—	16	2	no	—
334	C₂³	—	16	4	no	—
335	C₂³	—	16	8	no	—
336	C₂³	—	16	8	no	—
337	C₂³	—	16	8	no	—
338	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
339	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
340	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂³	#518	1	2	yes	—
345	Q₈	—	2	8	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	4	2	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	2	8	no	—
350	D₄	—	2	8	no	—
351	D₄	—	2	8	no	—
352	D₄	—	2	16	no	—
353	D₄	—	2	8	no	—
354	D₄	—	4	16	no	—
355	D₄	—	4	16	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	2	no	—
359	D₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	16	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	—	16	16	no	—
374	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
386	C₈	—	2	8	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₈	—	4	8	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	8	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	1	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	4	8	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	8	8	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	16	16	no	—
409	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
413	C₂²	#2342	1	2	yes	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	4	8	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	8	4	no	—
418	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
419	C₄	#2342	1	2	yes	—
420	C₄	#2358	1	4	yes	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	2	1	no	—
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	2	no	—
426	C₂	—	4	8	no	—
427	C₂	—	4	4	no	—
428	C₂	—	8	2	no	—
429	C₂	C₂²⋊C₄²	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²⋊C₄²
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20401	C₂	semidirect
5. #20398	C₂	semidirect
6. #10941	C₂	semidirect
7. #10771	C₂	semidirect
8. #10769	C₂	semidirect
13. C₂×#413	C₄	semidirect
16. C₂²×#100	C₄	semidirect
26. #2873	C₂²	semidirect
27. #1785	C₄	semidirect
28. #1783	C₄	semidirect
31. C₂×#344	C₂²	semidirect
32. C₂×#344	C₂²	semidirect
33. #1742	C₂²	semidirect
51. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×#101	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×#101	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
86. #407	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2888	2
C₂×#2883	2
#20592	2
#20401	2
#20398	2
#10941	2
#10771	2
#10769	2