Subgroups — #35621

Order 256.

1487 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2425	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2417	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2415	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#536	—	2	8	no	—
19	#536	—	2	8	no	—
20	#532	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
35	#520	—	2	8	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#398	C₂²	1	8	yes	—
47	#397	C₂²	1	8	yes	—
48	#396	C₂²	1	8	yes	—
49	#394	C₂²	1	8	yes	—
50	#391	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	4	yes	—
52	#391	C₂²	1	2	yes	—
53	#391	C₂²	1	2	yes	—
54	#390	C₂²	1	2	yes	—
55	#389	C₂²	1	2	yes	—
56	#389	C₂²	1	8	yes	—
57	#389	C₂²	1	2	yes	—
58	#388	C₂²	1	8	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	8	yes	—
61	#385	C₂²	1	4	yes	—
62	#380	C₂²	1	4	yes	—
63	#380	C₂²	1	8	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
67	C₂×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×#41	—	2	4	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
73	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
95	#127	—	2	4	no	—
96	#124	—	2	4	no	—
97	#124	—	2	4	no	—
98	#124	—	2	8	no	—
99	#124	—	2	8	no	—
100	#123	—	2	16	no	—
101	#123	—	2	16	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	#121	—	2	16	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	16	no	—
108	C₄×D₄	—	2	16	no	—
109	C₄×D₄	—	2	8	no	—
110	#117	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	8	no	—
112	#117	D₄	1	8	yes	complemented
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	#95	C₂³	1	8	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#41	—	2	32	no	—
152	#41	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
165	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	8	no	—
255	Q₈	—	4	8	no	—
256	Q₈	—	4	8	no	—
257	Q₈	—	4	4	no	—
258	D₄	—	2	16	no	—
259	D₄	—	2	8	no	—
260	D₄	—	4	16	no	—
261	D₄	—	4	8	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	16	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	#121	1	16	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	8	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
315	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
319	C₂²	#585	1	2	yes	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
330	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
331	C₂	—	2	4	no	—
332	C₂	—	4	4	no	—
333	C₂	—	8	2	no	—
334	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#3489	1	2	yes	—
336	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#3507	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#536	C₂	semidirect
2. C₂×#536	C₂	semidirect
4. C₂×#520	C₂	semidirect
5. #2547	C₂	semidirect
6. #2546	C₂	semidirect
7. #2545	C₂	semidirect
8. #2544	C₂	semidirect
9. #2425	C₂	semidirect
10. #2417	C₂	semidirect
11. #2415	C₂	semidirect
12. #2311	C₂	semidirect
13. #2296	C₂	semidirect
14. C₂×#391	C₂	semidirect
112. #117	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#536	2
C₂×#532	2
C₂×#520	2
#2547	2
#2546	2
#2545	2
#2544	2
#2425	2
#2417	2
#2415	2
#2311	2
#2296	2
C₂×#391	2