Subgroups — #356223

Order 512.

1666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13801	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10863	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10731	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#427	—	2	8	no	—
12	C₂×#427	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1808	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1776	—	2	8	no	—
24	#1752	C₄	1	8	yes	complemented
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#1437	—	2	4	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
31	#1434	—	2	2	no	—
32	C₄×#95	—	2	2	no	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	8	no	—
44	C₂×#117	—	4	4	no	—
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	#427	—	2	32	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	2	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	8	no	—
59	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#380	—	2	4	no	—
72	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
82	#340	—	2	8	no	—
83	#340	—	4	4	no	—
84	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
125	#117	—	2	16	no	—
126	#117	—	4	8	no	—
127	#117	—	4	16	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	#107	—	2	16	no	—
161	#107	—	2	16	no	—
162	#106	—	2	8	no	—
163	#106	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
164	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
165	#97	—	2	16	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	#95	—	4	8	no	—
168	#95	—	4	8	no	—
169	#95	—	8	4	no	—
170	#95	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	32	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	16	no	—
273	C₄²	—	8	16	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
294	C₂³	#547	1	2	yes	—
295	C₂³	#575	1	4	yes	—
296	C₂³	#576	1	2	yes	—
297	C₂³	#578	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2344	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
366	C₂²	#2361	1	2	yes	—
367	C₂²	#2911	1	2	yes	—
368	C₂²	#2913	1	2	yes	—
369	C₂²	#2943	1	2	yes	—
370	C₂²	#2943	1	2	yes	—
371	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2951	1	2	yes	—
374	C₂²	#3268	1	4	yes	—
375	C₂²	#3269	1	4	yes	—
376	C₂²	#3347	1	4	yes	—
377	C₂²	#3349	1	4	yes	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	4	8	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	—	8	8	no	—
383	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
385	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2345	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2352	1	2	yes	—
388	C₄	#2360	1	2	yes	—
389	C₂	—	4	4	no	—
390	C₂	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20451	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20455	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#22439	1	2	yes	—
394	C₂	#22616	1	2	yes	—
395	C₂	#22660	1	4	yes	—
396	C₂	#23030	1	2	yes	—
397	C₂	#23031	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1776	C₂	semidirect
6. #10907	C₂	semidirect
7. #10863	C₂	semidirect
12. C₂×#427	C₄	semidirect
22. #1808	C₄	semidirect
24. #1752	C₄	semidirect
115. C₂²×C₈	C₄²	semidirect
163. #106	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#427	2
C₂×#1808	2
C₂×#1776	2
C₂×#1752	2
#13801	2
#10907	2
#10863	2
#10731	2