Subgroups — #356228

Order 512.

1462 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²⋊C₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10865	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10734	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	—	2	8	no	—
12	C₂²×#108	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1810	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1778	—	2	8	no	—
24	#1753	—	2	4	no	—
25	#1752	—	2	2	no	—
26	#1752	C₄	1	4	yes	—
27	#1752	C₄	1	4	yes	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1728	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#108	—	2	8	no	—
56	C₂×#108	—	2	4	no	—
57	C₂×#108	—	2	4	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	32	no	—
60	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
65	#407	—	2	4	no	—
66	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
74	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×#95	Q₈	1	2	yes	—
85	#341	—	2	8	no	—
86	#341	—	4	4	no	—
87	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
122	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
145	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#108	—	2	16	no	—
165	#108	—	2	8	no	—
166	#108	—	2	16	no	—
167	#108	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
168	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
172	#97	—	2	16	no	—
173	#97	—	4	8	no	—
174	C₄×C₈	—	4	8	no	—
175	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
176	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	M₁₆	—	4	16	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	16	no	—
251	C₂×C₈	—	2	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	16	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂³	#430	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
300	C₂³	#554	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
343	C₈	—	2	8	no	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	4	8	no	—
348	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	8	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	#1778	1	4	yes	complemented
366	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
370	C₂²	#2360	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
372	C₂²	#2916	1	2	yes	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	8	no	—
376	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
378	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2352	1	2	yes	—
381	C₄	#2361	1	2	yes	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	1	no	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#1778	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20460	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#22668	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1778	C₂	semidirect
6. #10911	C₂	semidirect
7. #10865	C₂	semidirect
12. C₂²×#108	C₄	semidirect
22. #1810	C₄	semidirect
167. #108	C₂²⋊C₄	semidirect
365. C₂²	#1778	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#108	2
C₂×#1810	2
C₂×#1778	2
C₂²⋊C₄×M₁₆	2
C₂×#1752	2
#10911	2
#10865	2
#10734	2