Subgroups — #356234

Order 512.

1410 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2913	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20455	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20393	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10765	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
11	#2913	—	2	4	no	—
12	#2913	—	2	4	no	—
13	C₂×#428	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#427	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#107	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	#2274	C₂²	1	4	yes	—
25	#1812	C₄	1	8	yes	complemented
26	#1776	—	2	4	no	—
27	C₄×#107	—	2	4	no	—
28	#1757	C₄	1	8	yes	complemented
29	C₄×#99	—	2	8	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
31	#1740	C₂²	1	4	yes	—
32	#1736	C₂²	1	4	yes	—
33	#1733	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#131	—	2	2	no	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#520	—	2	8	no	—
47	#520	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#428	—	2	8	no	—
58	#428	—	2	16	no	—
59	#427	—	2	2	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	—	2	4	no	—
63	#427	—	2	4	no	—
64	#427	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	—	2	4	no	—
67	C₂×#107	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×#106	—	2	2	no	—
76	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#413	—	2	2	no	—
79	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×#101	—	2	1	no	—
81	C₂×#100	—	2	1	no	—
82	#410	—	2	4	no	—
83	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#410	Q₈	1	4	yes	—
86	C₂×#99	—	2	4	no	—
87	C₂×#99	D₄	1	4	yes	—
88	#405	—	2	4	no	—
89	#405	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	C₂×#97	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	#344	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	#342	—	2	8	no	—
97	#340	—	2	8	no	—
98	#339	—	4	4	no	—
99	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#131	—	2	8	no	—
116	#131	—	2	8	no	—
117	#131	—	2	8	no	—
118	#131	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₄²	1	8	yes	complemented
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	complemented
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
145	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
146	C₄×D₄	—	4	8	no	—
147	C₄×D₄	—	4	16	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	8	no	—
156	#117	—	4	4	no	—
157	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
158	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
180	#107	—	2	1	no	—
181	#107	—	2	1	no	—
182	#107	—	2	1	no	—
183	#107	—	2	1	no	—
184	#107	—	2	8	no	—
185	#107	—	2	8	no	—
186	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	#107	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
189	#106	—	2	4	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	8	no	—
192	#101	—	2	4	no	—
193	#100	—	2	4	no	—
194	#99	—	2	16	no	—
195	#99	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
196	#97	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	8	no	—
198	#95	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
212	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	16	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	4	8	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	4	4	no	—
297	C₄²	—	16	8	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	4	1	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
309	C₂³	#547	1	2	yes	—
310	Q₈	—	2	4	no	—
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	D₄	—	2	8	no	—
313	D₄	—	2	8	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	16	8	no	—
336	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
355	C₈	—	2	4	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
358	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
359	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2344	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
376	C₂²	#2361	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	8	8	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
385	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2345	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2352	1	2	yes	—
388	C₄	#2360	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	4	4	no	—
394	C₂	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#22455	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#22457	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20455	C₂	semidirect
6. #10903	C₂	semidirect
7. #10871	C₂	semidirect
13. C₂×#428	C₄	semidirect
15. C₂×#427	C₄	semidirect
18. C₂²×#107	C₄	semidirect
25. #1812	C₄	semidirect
28. #1757	C₄	semidirect
64. #427	C₂×C₄	semidirect
89. #405	C₂×C₄	semidirect
95. #344	C₂×C₄	semidirect
99. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect
128. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
136. C₂²×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2913	2
C₂×#1812	2
#20455	2
C₂×#1757	2
#20393	2
#10903	2
#10871	2
#10765	2