Subgroups — #356235

Order 512.

1329 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20401	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10906	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10767	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2916	—	2	4	no	—
12	#2916	—	2	4	no	—
13	C₂×#430	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2873	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	#1813	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1778	—	2	4	no	—
26	C₄×#108	—	2	4	no	—
27	#1757	—	2	8	no	—
28	#1757	C₄	1	8	yes	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
31	#1738	C₂²	1	4	yes	—
32	#1738	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	#568	—	2	8	no	—
36	#568	—	4	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	#430	—	2	8	no	—
55	#430	—	2	16	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	—	2	2	no	—
58	C₂×#108	—	2	2	no	—
59	C₂×#108	—	2	2	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	8	no	—
62	C₂×#108	—	2	8	no	—
63	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
71	#413	—	2	4	no	—
72	#413	—	2	2	no	—
73	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#101	—	2	1	no	—
76	C₂×#101	—	2	2	no	—
77	C₂×#100	—	2	1	no	—
78	C₂×#100	—	2	2	no	—
79	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#410	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#99	Q₈	1	4	yes	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	#405	—	2	8	no	—
84	#405	—	4	4	no	—
85	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	#344	—	2	8	no	—
90	#344	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#341	—	2	8	no	—
92	#341	—	4	4	no	—
93	#338	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
102	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#131	—	2	8	no	—
108	#131	—	2	8	no	—
109	#131	—	2	8	no	—
110	#131	—	2	8	no	—
111	#131	—	4	16	no	—
112	#131	—	4	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×M₁₆	C₄²	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	#108	—	2	16	no	—
168	#108	—	2	2	no	—
169	#108	—	2	2	no	—
170	#108	—	2	4	no	—
171	#108	—	2	8	no	—
172	#108	—	2	8	no	—
173	#108	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	#108	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	#101	—	2	4	no	—
177	#101	—	2	8	no	—
178	#100	—	2	4	no	—
179	#100	—	2	8	no	—
180	#99	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
181	#97	—	2	8	no	—
182	#97	—	4	8	no	—
183	C₄×C₈	—	2	8	no	—
184	C₄×C₈	—	4	8	no	—
185	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
198	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	M₁₆	—	2	4	no	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	2	8	no	—
229	M₁₆	—	2	16	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	4	16	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	2	no	—
241	M₁₆	—	4	2	no	—
242	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	4	16	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂³	#554	1	2	yes	—
286	Q₈	—	2	4	no	—
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	8	no	—
289	D₄	—	2	8	no	—
290	D₄	—	2	4	no	—
291	D₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
319	C₈	—	2	8	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	4	4	no	—
322	C₈	—	4	4	no	—
323	C₈	—	4	8	no	—
324	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
325	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	2	no	—
336	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
340	C₂²	#2360	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
345	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2352	1	2	yes	—
348	C₄	#2361	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	—	2	1	no	—
353	C₂	—	2	2	no	—
354	C₂	—	4	4	no	—
355	C₂	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20460	C₂	semidirect
6. #10906	C₂	semidirect
7. #10873	C₂	semidirect
13. C₂×#430	C₄	semidirect
15. C₂²×#108	C₄	semidirect
24. #1813	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2916	2
C₂×#1813	2
#20460	2
#20401	2
C₂×#1757	2
#10906	2
#10873	2
#10767	2