Subgroups — #356319

Order 512.

1698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10730	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#340	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1808	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂×#340	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1436	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#107	—	4	4	no	—
54	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#380	—	2	4	no	—
61	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
67	C₂×#95	—	2	2	no	—
68	C₂×#95	—	2	4	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	—	2	4	no	—
71	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
72	#340	—	2	8	no	—
73	#340	—	4	4	no	—
74	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
109	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
152	#107	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
154	C₄×C₈	—	4	8	no	—
155	#95	—	2	8	no	—
156	#95	—	4	8	no	—
157	#95	—	4	8	no	—
158	#95	—	8	4	no	—
159	#95	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
167	C₂⁴	#135	1	2	yes	—
168	C₂⁴	#135	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	16	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	#107	1	16	yes	complemented
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	8	16	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂×#107	1	4	yes	—
271	C₂³	#427	1	4	yes	—
272	C₂³	C₄×D₈	1	4	yes	—
273	C₂³	C₄×D₈	1	4	yes	—
274	C₂³	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
275	C₂³	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#546	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#577	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	32	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#107	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	C₄×#107	1	8	yes	—
347	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2342	1	2	yes	—
349	C₂²	#2349	1	2	yes	—
350	C₂²	#2364	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2912	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2949	1	2	yes	—
359	C₂²	#2952	1	2	yes	—
360	C₂²	#3294	1	4	yes	—
361	C₂²	#3296	1	4	yes	—
362	C₂²	#3299	1	4	yes	—
363	C₂²	#3301	1	4	yes	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	8	no	—
370	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2345	1	2	yes	—
373	C₄	#2353	1	2	yes	—
374	C₄	#2368	1	2	yes	—
375	C₂	—	2	8	no	—
376	C₂	#13802	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×C₄×#107	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20454	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#22570	1	2	yes	—
380	C₂	#22575	1	2	yes	—
381	C₂	#22705	1	2	yes	—
382	C₂	#22706	1	2	yes	—
383	C₂	#23127	1	2	yes	—
384	C₂	#23128	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10907	C₂	semidirect
6. #10820	C₂	semidirect
8. C₄×#340	C₂	semidirect
18. #1808	C₄	semidirect
19. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
20. C₂×#340	C₄	semidirect
54. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
77. #340	C₂×C₄	semidirect
78. #336	C₂×C₄	semidirect
109. C₂²×C₈	C₄²	semidirect
254. C₂²⋊C₄	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1808	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#340	2
C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	2
#10907	2
#10820	2
#10730	2
C₄×#340	2