Subgroups — #356327

Order 512.

1338 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20379	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10733	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1810	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
19	#1750	—	2	4	no	—
20	#1749	—	2	2	no	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
22	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
23	#1735	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1735	C₂²	1	2	yes	—
26	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#340	C₄	1	4	yes	complemented
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
30	#1729	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#117	—	2	2	no	—
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂×#117	—	2	8	no	—
45	C₂×#117	—	4	4	no	—
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#108	—	4	4	no	—
55	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	#407	—	2	4	no	—
57	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
65	#405	—	2	8	no	—
66	#405	—	4	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#95	—	2	1	no	—
74	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#339	—	2	8	no	—
79	#339	—	4	4	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
114	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	4	no	—
128	#117	—	2	8	no	—
129	#117	—	4	8	no	—
130	#117	—	4	8	no	—
131	#117	—	4	4	no	—
132	#117	#41	1	8	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	#108	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
158	#97	—	4	8	no	—
159	C₄×C₈	—	4	8	no	—
160	C₄×C₈	—	4	8	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
212	M₁₆	—	2	8	no	—
213	M₁₆	—	2	8	no	—
214	M₁₆	—	4	4	no	—
215	M₁₆	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	8	no	—
229	C₂×C₈	—	4	8	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	4	8	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	16	no	—
265	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂³	#443	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#551	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	16	no	—
297	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	#1772	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2342	1	2	yes	—
334	C₂²	#2353	1	2	yes	—
335	C₂²	#2368	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
337	C₂²	#2957	1	2	yes	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	8	no	—
341	C₄	—	4	8	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2345	1	2	yes	—
346	C₄	#2349	1	2	yes	—
347	C₄	#2364	1	2	yes	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	4	2	no	—
352	C₂	#13802	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#1772	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#22587	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10910	C₂	semidirect
6. #10818	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
17. #1810	C₄	semidirect
18. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
23. #1735	C₄	semidirect
27. C₂×#340	C₄	semidirect
55. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
74. #341	C₂×C₄	semidirect
82. #336	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1810	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#20379	2
C₂×#1735	2
#10910	2
#10818	2
#10733	2
#10706	2