Subgroups — #356334

Order 512.

1286 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20389	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10732	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	#2280	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
18	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
19	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
20	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1753	—	2	4	no	—
22	#1752	—	2	2	no	—
23	#1752	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
25	C₂×#341	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1735	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	#427	—	4	4	no	—
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
63	#405	—	2	8	no	—
64	#405	—	4	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	—	4	4	no	—
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	#381	—	2	2	no	—
70	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#379	—	2	2	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×#95	—	2	1	no	—
78	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#339	—	2	8	no	—
84	#339	—	4	4	no	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	#107	—	4	4	no	—
160	#106	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
163	#97	—	4	8	no	—
164	#97	—	4	8	no	—
165	C₄×C₈	—	4	8	no	—
166	#95	—	2	4	no	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	—	2	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	2	8	no	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	4	16	no	—
220	M₁₆	—	4	4	no	—
221	M₁₆	#117	1	8	yes	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	16	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂³	#444	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#553	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
318	C₈	—	2	8	no	—
319	C₈	—	2	8	no	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	2	8	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	1	no	—
328	C₂²	—	2	1	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	#1773	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2345	1	2	yes	—
342	C₂²	#2353	1	2	yes	—
343	C₂²	#2364	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
345	C₂²	#2957	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	—	8	8	no	—
350	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2342	1	2	yes	—
353	C₄	#2349	1	2	yes	—
354	C₄	#2368	1	2	yes	—
355	C₂	—	2	2	no	—
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	—	4	2	no	—
359	C₂	#13802	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#23147	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10909	C₂	semidirect
6. #10819	C₂	semidirect
8. #10707	C₂	semidirect
17. #1808	C₄	semidirect
18. #1808	C₄	semidirect
19. #1807	C₄	semidirect
20. #1807	C₄	semidirect
23. #1752	C₄	semidirect
25. C₂×#341	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20658	2
#20389	2
C₂×#1752	2
C₂²×#341	2
#10909	2
#10819	2
#10732	2
#10707	2