Subgroups — #356336

Order 512.

1474 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10874	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10834	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#384	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₈×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
15	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄⋊#95	C₄	1	4	yes	—
20	C₄⋊#95	C₄	1	2	yes	—
21	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
22	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
32	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	—
37	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
38	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄×C₈	—	2	16	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
42	#384	C₈	1	16	yes	complemented
43	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
44	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
45	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
46	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
47	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₄³	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	#336	—	2	16	no	—
51	#336	—	4	4	no	—
52	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
72	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	32	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
79	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
88	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
89	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
98	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
100	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
101	C₄×C₈	—	2	32	no	—
102	C₄×C₈	—	4	16	no	—
103	#95	—	2	16	no	—
104	#95	—	4	4	no	—
105	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
129	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
138	C₂×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂×C₈	—	2	8	no	—
147	C₂×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂×C₈	—	4	4	no	—
151	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
152	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
154	C₄²	—	2	4	no	—
155	C₄²	—	2	4	no	—
156	C₄²	—	2	16	no	—
157	C₄²	—	4	4	no	—
158	C₄²	—	4	4	no	—
159	C₄²	—	4	8	no	—
160	C₄²	—	4	4	no	—
161	C₄²	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
162	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
163	C₄²	#117	1	8	yes	—
164	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
165	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	—
166	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
167	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
169	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
170	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
172	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
173	C₂³	#568	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	32	no	—
184	C₂×C₄	—	2	16	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₄	—	4	16	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
195	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
196	C₂×C₄	C₈×D₄	1	16	yes	—
197	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	16	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
214	C₈	—	2	16	no	—
215	C₈	—	4	8	no	—
216	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#2365	1	2	yes	—
219	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
223	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²	#2935	1	4	yes	—
226	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²	#2962	1	4	yes	—
228	C₂²	#2972	1	2	yes	—
229	C₂²	#2979	1	2	yes	—
230	C₂²	#2982	1	2	yes	—
231	C₂²	#2986	1	2	yes	—
232	C₄	—	2	4	no	—
233	C₄	—	2	8	no	—
234	C₄	—	4	2	no	—
235	C₄	—	4	16	no	—
236	C₄	C₈×C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
237	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₄	#2354	1	2	yes	—
240	C₄	#2355	1	2	yes	—
241	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
242	C₂	C₂×C₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂	#20441	1	2	yes	—
244	C₂	#20533	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#20538	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#23149	1	4	yes	—
247	C₂	#23173	1	2	yes	—
248	C₂	#23247	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle, prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
42. #384	C₈	semidirect
100. C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	semidirect
161. C₄²	C₄×C₈	semidirect
236. C₄	C₈×C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₄×#384	2
#10874	2
#10834	2