Subgroups — #356341

Order 512.

1090 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 200 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20454	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10891	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10869	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
12	#2274	C₂²	1	4	yes	—
13	#1844	C₄	1	8	yes	complemented
14	#1776	—	2	8	no	—
15	C₄×#106	—	2	8	no	—
16	#1772	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
18	#1736	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
21	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
22	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#108	—	2	4	no	—
27	C₂×#108	—	2	4	no	—
28	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	#427	Q₈	1	8	yes	—
31	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
32	C₂×#106	—	2	4	no	—
33	C₂×#106	—	2	4	no	—
34	C₂×#106	—	2	8	no	—
35	C₂×#106	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
37	#405	—	2	8	no	—
38	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
39	C₂×#97	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	#384	—	4	2	no	—
44	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
46	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
47	#343	—	4	4	no	—
48	#340	—	2	16	no	—
49	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
50	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
66	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
68	#117	—	2	4	no	—
69	#117	—	2	4	no	—
70	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
71	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	#108	—	2	16	no	—
87	#107	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
88	#106	—	2	16	no	—
89	#106	—	2	16	no	—
90	#106	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
91	#97	—	2	16	no	—
92	C₄×C₈	—	2	16	no	—
93	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
94	#95	—	4	8	no	—
95	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
104	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
112	M₁₆	—	2	8	no	—
113	M₁₆	—	2	8	no	—
114	M₁₆	—	4	4	no	—
115	M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂×C₈	—	4	4	no	—
118	C₂×C₈	—	4	4	no	—
119	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
120	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
123	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
129	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
133	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
134	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₄²	—	2	8	no	—
137	C₄²	—	2	2	no	—
138	C₄²	—	2	4	no	—
139	C₄²	—	2	8	no	—
140	C₄²	—	16	8	no	—
141	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
142	C₂³	—	2	4	no	—
143	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
144	C₂³	#520	1	2	yes	—
145	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
146	C₂³	#554	1	2	yes	—
147	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄	—	4	16	no	—
153	C₂×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂×C₄	—	8	8	no	—
155	C₂×C₄	—	8	8	no	—
156	C₂×C₄	—	16	4	no	—
157	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
167	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
168	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
171	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
172	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
173	C₈	—	4	8	no	—
174	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂²	—	2	2	no	—
177	C₂²	—	2	2	no	—
178	C₂²	—	2	4	no	—
179	C₂²	—	2	4	no	—
180	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
181	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²	#2355	1	2	yes	—
183	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
185	C₂²	#3291	1	4	yes	—
186	C₄	—	2	8	no	—
187	C₄	—	4	16	no	—
188	C₄	—	8	8	no	—
189	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₄	#2354	1	2	yes	—
192	C₄	#2365	1	2	yes	—
193	C₂	—	2	1	no	—
194	C₂	—	2	2	no	—
195	C₂	—	2	1	no	—
196	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
197	C₂	#22689	1	4	yes	—
198	C₂	#23198	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #1844	C₄	semidirect
16. #1772	C₄	semidirect
87. #107	C₄⋊C₄	semidirect
90. #106	C₄⋊C₄	semidirect
93. C₄×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1844	2
#20454	2
C₂×#1772	2
#10891	2
#10869	2