Subgroups — #356342

Order 512.

1046 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20455	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20454	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10892	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10870	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10869	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
19	#2274	C₂²	1	4	yes	—
20	#1846	C₄	1	8	yes	complemented
21	#1776	—	2	4	no	—
22	#1776	—	2	4	no	—
23	C₄×#107	—	2	4	no	—
24	C₄×#106	—	2	4	no	—
25	#1772	C₄	1	8	yes	complemented
26	#1772	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
28	#1736	C₂²	1	4	yes	—
29	#1736	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#108	—	2	2	no	—
41	C₂×#108	—	2	2	no	—
42	C₂×#108	—	2	2	no	—
43	C₂×#108	—	2	2	no	—
44	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#427	Q₈	1	4	yes	—
49	#427	Q₈	1	4	yes	—
50	C₂×#107	—	2	2	no	—
51	C₂×#107	—	2	2	no	—
52	C₂×#107	—	2	4	no	—
53	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#106	—	2	2	no	—
57	C₂×#106	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
62	#405	—	2	4	no	—
63	#405	—	2	4	no	—
64	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#382	—	4	2	no	—
74	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
78	C₂×#95	—	4	2	no	—
79	#343	—	4	4	no	—
80	#340	—	2	8	no	—
81	#340	—	2	8	no	—
82	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
117	#117	—	2	2	no	—
118	#117	—	2	2	no	—
119	#117	—	2	2	no	—
120	#117	—	2	2	no	—
121	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	#108	—	2	8	no	—
145	#108	—	2	8	no	—
146	#107	—	2	8	no	—
147	#107	—	2	8	no	—
148	#107	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	#107	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
150	#106	—	2	8	no	—
151	#106	—	2	8	no	—
152	#106	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
153	#106	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
154	#97	—	2	8	no	—
155	#97	—	2	8	no	—
156	C₄×C₈	—	2	8	no	—
157	C₄×C₈	—	2	8	no	—
158	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
159	#95	—	4	8	no	—
160	#95	—	4	8	no	—
161	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
172	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
186	M₁₆	—	2	4	no	—
187	M₁₆	—	2	4	no	—
188	M₁₆	—	2	4	no	—
189	M₁₆	—	2	4	no	—
190	M₁₆	—	4	2	no	—
191	M₁₆	—	4	2	no	—
192	M₁₆	—	4	2	no	—
193	M₁₆	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
201	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
208	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
219	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	16	8	no	—
240	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	8	8	no	—
260	C₂×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂×C₄	—	16	4	no	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
290	C₈	—	4	4	no	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
293	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
295	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#3290	1	4	yes	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	4	8	no	—
312	C₄	—	4	8	no	—
313	C₄	—	8	8	no	—
314	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	2	1	no	—
324	C₂	—	2	1	no	—
325	C₂	—	2	1	no	—
326	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#22690	1	2	yes	—
328	C₂	#22691	1	2	yes	—
329	C₂	#23199	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1846	C₄	semidirect
25. #1772	C₄	semidirect
26. #1772	C₄	semidirect
158. C₄×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1846	2
#20455	2
#20454	2
C₂×#1772	2
#10892	2
#10870	2
#10869	2