Subgroups — #356358

Order 512.

1068 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1773	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20431	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10910	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10860	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10852	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1848	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₄×#106	C₄	1	2	yes	complemented
24	C₄×#106	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1773	—	2	8	no	—
26	#1770	C₄	1	8	yes	complemented
27	#1768	—	2	4	no	—
28	#1767	—	2	2	no	—
29	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
30	#1735	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#108	—	2	4	no	—
45	C₂×#108	—	2	4	no	—
46	C₂×#108	—	4	2	no	—
47	C₂×#108	—	4	2	no	—
48	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	#427	—	2	2	no	—
51	#427	—	2	2	no	—
52	#427	D₄	1	4	yes	—
53	#427	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#423	—	2	4	no	—
59	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
66	#405	—	2	8	no	—
67	#405	—	4	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	#376	—	2	2	no	—
86	C₂×#95	—	2	1	no	—
87	C₄³	—	2	2	no	—
88	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#339	—	2	8	no	—
91	#339	—	4	4	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
129	#117	—	2	2	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	2	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	#108	—	2	16	no	—
162	#108	—	4	8	no	—
163	#107	—	2	4	no	—
164	#107	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
165	#106	—	2	4	no	—
166	#106	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
167	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	#97	—	2	16	no	—
172	#97	—	4	8	no	—
173	C₄×C₈	—	4	8	no	—
174	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
175	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
177	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	M₁₆	—	2	8	no	—
214	M₁₆	—	2	8	no	—
215	M₁₆	—	4	4	no	—
216	M₁₆	—	4	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	8	4	no	—
266	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
273	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	8	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
339	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
356	C₂²	#2957	1	2	yes	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	8	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	#1773	1	4	yes	complemented
364	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
366	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
367	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2355	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#22686	1	2	yes	—
380	C₂	#22803	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1848	C₄	semidirect
21. C₄×#107	C₄	semidirect
22. C₄×#107	C₄	semidirect
23. C₄×#106	C₄	semidirect
24. C₄×#106	C₄	semidirect
26. #1770	C₄	semidirect
164. #107	C₄⋊C₄	semidirect
166. #106	C₄⋊C₄	semidirect
363. C₄	#1773	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1848	2
C₄×#427	2
C₂×#1773	2
C₂×#1770	2
#20431	2
#10910	2
#10860	2
#10852	2