Subgroups — #356360

Order 512.

1096 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20441	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10909	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10859	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2285	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1845	C₄	1	2	yes	complemented
23	#1844	C₄	1	2	yes	complemented
24	C₄×#108	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1772	—	2	8	no	—
26	#1771	—	2	4	no	—
27	#1770	—	2	2	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#108	—	2	2	no	—
45	C₂×#108	—	2	2	no	—
46	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
50	#427	—	2	4	no	—
51	#427	—	2	4	no	—
52	#427	—	4	2	no	—
53	#427	—	4	2	no	—
54	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
63	#405	—	2	8	no	—
64	#405	—	4	4	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×#95	—	2	1	no	—
89	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	#339	—	2	8	no	—
91	#339	—	4	4	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#108	—	2	8	no	—
163	#108	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
164	#107	—	2	8	no	—
165	#107	—	4	4	no	—
166	#106	—	2	8	no	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	#97	—	2	8	no	—
172	#97	—	4	8	no	—
173	C₄×C₈	—	2	16	no	—
174	C₄×C₈	—	2	8	no	—
175	C₄×C₈	—	4	8	no	—
176	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
177	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
178	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
278	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#557	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	2	4	no	—
338	C₈	—	2	8	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
343	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
360	C₂²	#2957	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	8	8	no	—
366	C₄	#1772	1	4	yes	complemented
367	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
369	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
371	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2369	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	1	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#1772	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#23170	1	2	yes	—
383	C₂	#23179	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1846	C₄	semidirect
21. #1846	C₄	semidirect
22. #1845	C₄	semidirect
23. #1844	C₄	semidirect
24. C₄×#108	C₄	semidirect
29. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
163. #108	C₄⋊C₄	semidirect
366. C₄	#1772	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20797	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×#1772	2
#20441	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#10909	2
#10859	2
#10851	2