Subgroups — #356374

Order 512.

1044 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1778	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄⋊C₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10911	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10865	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10853	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1848	C₄	1	8	yes	complemented
21	#1778	—	2	8	no	—
22	C₄×#108	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1771	—	2	4	no	—
24	#1770	—	2	2	no	—
25	#1770	C₄	1	4	yes	—
26	#1770	C₄	1	4	yes	—
27	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1728	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#108	—	2	4	no	—
43	C₂×#108	—	2	2	no	—
44	C₂×#108	—	2	2	no	—
45	C₂×#108	—	2	4	no	—
46	C₂×#108	—	4	2	no	—
47	C₂×#108	—	4	2	no	—
48	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
54	#423	—	2	4	no	—
55	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
64	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
65	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×#97	—	2	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#95	Q₈	1	2	yes	—
82	#341	—	2	8	no	—
83	#341	—	4	4	no	—
84	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
151	#108	—	2	8	no	—
152	#108	—	2	16	no	—
153	#108	—	4	8	no	—
154	#108	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
159	#97	—	2	16	no	—
160	#97	—	2	8	no	—
161	#97	—	4	8	no	—
162	C₄×C₈	—	2	8	no	—
163	C₄×C₈	—	4	8	no	—
164	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
165	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
166	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
167	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
198	M₁₆	—	2	4	no	—
199	M₁₆	—	2	4	no	—
200	M₁₆	—	2	4	no	—
201	M₁₆	—	2	4	no	—
202	M₁₆	—	2	8	no	—
203	M₁₆	—	2	8	no	—
204	M₁₆	—	2	4	no	—
205	M₁₆	—	4	4	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	M₁₆	—	4	4	no	—
209	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
248	C₄²	#117	1	2	yes	—
249	C₄²	#117	1	2	yes	—
250	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	#557	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	4	8	no	—
313	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
330	C₂²	#2916	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	4	8	no	—
335	C₄	#1778	1	4	yes	complemented
336	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
338	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2355	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	2	1	no	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#1778	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20460	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#22669	1	2	yes	—
352	C₂	#22733	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1848	C₄	semidirect
22. C₄×#108	C₄	semidirect
154. #108	C₄⋊C₄	semidirect
335. C₄	#1778	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1848	2
C₂×#1778	2
C₂×C₄×#108	2
C₄⋊C₄×M₁₆	2
C₂×#1770	2
#10911	2
#10865	2
#10853	2