Subgroups — #356398

Order 512.

1198 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13804	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10907	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10850	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10820	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#340	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1835	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×#107	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	#1436	—	2	4	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
29	#1434	—	2	2	no	—
30	C₄×#95	—	2	2	no	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#107	—	2	4	no	—
43	C₂×#107	—	2	4	no	—
44	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#382	—	2	4	no	—
54	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
61	C₂×#95	—	2	2	no	—
62	C₂×#95	—	2	2	no	—
63	C₂×#95	—	2	2	no	—
64	C₂×#95	—	2	4	no	—
65	C₂×#95	—	2	4	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#340	—	2	8	no	—
70	#340	—	4	4	no	—
71	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
119	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
123	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
134	#107	—	2	16	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₄×C₈	—	4	8	no	—
137	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
138	#95	—	2	8	no	—
139	#95	—	2	8	no	—
140	#95	—	2	8	no	—
141	#95	—	4	8	no	—
142	#95	—	4	8	no	—
143	#95	—	8	4	no	—
144	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
145	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	8	8	no	—
225	C₄²	—	8	16	no	—
226	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
227	C₄²	#117	1	4	yes	—
228	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
229	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	#546	1	2	yes	—
234	C₂³	#548	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
236	C₂³	#576	1	2	yes	—
237	C₂³	#578	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#427	1	8	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
292	C₈	—	2	4	no	—
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	4	4	no	—
295	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#2349	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#2351	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2352	1	2	yes	—
299	C₂²	#2367	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
301	C₂²	#2913	1	2	yes	—
302	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
303	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
304	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#2951	1	2	yes	—
307	C₂²	#3297	1	4	yes	—
308	C₂²	#3300	1	4	yes	—
309	C₂²	#3361	1	4	yes	—
310	C₂²	#3364	1	4	yes	—
311	C₄	—	2	8	no	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	4	8	no	—
316	C₄	—	8	8	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#2355	1	2	yes	—
321	C₄	#2356	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#2370	1	2	yes	—
324	C₂	#13804	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₄×#427	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20455	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#22704	1	2	yes	—
328	C₂	#22739	1	2	yes	—
329	C₂	#22769	1	2	yes	—
330	C₂	#22772	1	2	yes	—
331	C₂	#23218	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
17. #1835	C₄	semidirect
18. C₄×#107	C₄	semidirect
19. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
137. C₄×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1835	2
C₂×C₄×#107	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#13804	2
#10907	2
#10850	2
#10820	2
C₄×#340	2