Subgroups — #356399

Order 512.

1286 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄⋊C₄²	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10907	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10849	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10820	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#340	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1834	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₄×#107	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1436	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#107	—	2	4	no	—
46	C₂×#107	—	2	4	no	—
47	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#384	—	2	4	no	—
57	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
65	C₂×#95	—	2	2	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₂×#95	—	2	4	no	—
68	C₂×#95	—	2	4	no	—
69	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
70	#340	—	2	8	no	—
71	#340	—	4	4	no	—
72	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
146	#107	—	2	16	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₄×C₈	—	4	8	no	—
149	C₄×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
150	#95	—	2	8	no	—
151	#95	—	4	8	no	—
152	#95	—	4	8	no	—
153	#95	—	8	4	no	—
154	#95	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
155	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
238	C₄⋊C₄	#107	1	16	yes	complemented
239	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	4	16	no	—
244	C₄²	—	8	16	no	—
245	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
246	C₄²	#117	1	4	yes	—
247	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
248	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	#546	1	2	yes	—
253	C₂³	#548	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	#577	1	2	yes	—
259	C₂³	#577	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#107	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#107	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2349	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2351	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2352	1	2	yes	—
328	C₂²	#2367	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2949	1	2	yes	—
338	C₂²	#2952	1	2	yes	—
339	C₂²	#3294	1	2	yes	—
340	C₂²	#3299	1	2	yes	—
341	C₂²	#3303	1	2	yes	—
342	C₂²	#3304	1	2	yes	—
343	C₂²	#3358	1	2	yes	—
344	C₂²	#3360	1	2	yes	—
345	C₂²	#3363	1	2	yes	—
346	C₂²	#3365	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	8	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	4	8	no	—
351	C₄	—	8	8	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	C₄×#107	1	8	yes	—
354	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2355	1	2	yes	—
357	C₄	#2356	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2370	1	2	yes	—
360	C₂	#13804	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×C₄×#107	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20454	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#22705	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#22708	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22740	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#22741	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#22766	1	2	yes	—
368	C₂	#22771	1	2	yes	—
369	C₂	#23216	1	2	yes	—
370	C₂	#23217	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. #1834	C₄	semidirect
19. C₄×#107	C₄	semidirect
20. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
149. C₄×C₈	C₄²	semidirect
238. C₄⋊C₄	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1834	2
C₂×C₄×#107	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₄⋊C₄²	2
#10907	2
#10849	2
#10820	2
C₄×#340	2