Subgroups — #356408

Order 512.

980 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20431	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10909	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10852	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10819	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10707	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1837	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₄×#106	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₄×#106	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1770	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1768	—	2	4	no	—
24	#1767	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#427	—	2	4	no	—
44	#427	—	2	4	no	—
45	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#423	—	2	4	no	—
48	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
55	#405	—	2	8	no	—
56	#405	—	4	4	no	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×#97	—	4	4	no	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	#376	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	—	2	1	no	—
75	C₄³	—	2	2	no	—
76	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#339	—	2	8	no	—
83	#339	—	4	4	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	—	2	2	no	—
117	#117	—	2	2	no	—
118	#117	—	2	2	no	—
119	#117	—	2	2	no	—
120	#117	—	2	2	no	—
121	#117	#41	1	4	yes	—
122	#117	#41	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	#107	—	2	8	no	—
146	#106	—	2	8	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
151	#97	—	4	8	no	—
152	#97	—	4	8	no	—
153	C₄×C₈	—	4	8	no	—
154	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
155	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
156	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
157	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
158	#95	—	2	4	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
188	M₁₆	—	2	8	no	—
189	M₁₆	—	2	8	no	—
190	M₁₆	—	4	4	no	—
191	M₁₆	—	4	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	—	2	8	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₄²	—	2	4	no	—
228	C₄²	—	4	2	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	—	4	4	no	—
231	C₄²	—	4	8	no	—
232	C₄²	—	8	4	no	—
233	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
234	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
240	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#552	1	2	yes	—
247	C₂³	#553	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
288	C₈	—	2	8	no	—
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	4	8	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2352	1	2	yes	—
302	C₂²	#2356	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#2357	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#2370	1	2	yes	—
305	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
306	C₂²	#2957	1	2	yes	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	4	8	no	—
311	C₄	—	8	4	no	—
312	C₄	—	8	4	no	—
313	C₄	#1773	1	4	yes	—
314	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#2351	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2355	1	2	yes	—
319	C₄	#2367	1	2	yes	—
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	1	no	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	#13804	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#22782	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
17. #1837	C₄	semidirect
18. C₄×#107	C₄	semidirect
19. C₄×#107	C₄	semidirect
20. C₄×#106	C₄	semidirect
21. C₄×#106	C₄	semidirect
22. #1770	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1837	2
C₄×#427	2
C₂×#1770	2
#20431	2
#10909	2
#10852	2
#10819	2
#10707	2