Subgroups — #356414

Order 512.

976 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20441	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10819	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10707	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2285	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1835	C₄	1	4	yes	complemented
18	#1834	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₄×#108	C₄	1	8	yes	complemented
20	#1771	—	2	4	no	—
21	#1770	—	2	2	no	—
22	#1770	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
24	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1735	C₂²	1	2	yes	—
27	#1735	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
30	#1729	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#108	—	2	4	no	—
42	C₂×#108	—	2	4	no	—
43	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
48	#405	—	2	8	no	—
49	#405	—	4	4	no	—
50	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
51	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#97	—	2	2	no	—
53	C₂×#97	—	2	4	no	—
54	C₂×#97	—	4	4	no	—
55	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#380	—	2	2	no	—
65	#380	—	2	2	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×#95	—	2	1	no	—
71	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#339	—	2	8	no	—
76	#339	—	4	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	#336	—	2	4	no	—
79	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
95	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
136	#108	—	2	16	no	—
137	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
138	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
139	#97	—	2	8	no	—
140	#97	—	4	8	no	—
141	#97	—	4	8	no	—
142	C₄×C₈	—	2	8	no	—
143	C₄×C₈	—	4	8	no	—
144	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
145	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
146	#95	—	2	4	no	—
147	#95	—	2	4	no	—
148	#95	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
175	M₁₆	—	2	4	no	—
176	M₁₆	—	2	4	no	—
177	M₁₆	—	2	4	no	—
178	M₁₆	—	2	4	no	—
179	M₁₆	—	2	4	no	—
180	M₁₆	—	4	2	no	—
181	M₁₆	—	4	2	no	—
182	M₁₆	#117	1	8	yes	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	4	2	no	—
201	C₂×C₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
205	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	4	4	no	—
215	C₄²	—	4	4	no	—
216	C₄²	—	4	4	no	—
217	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
218	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
224	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	#556	1	2	yes	—
231	C₂³	#559	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	8	8	no	—
246	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
269	C₈	—	2	8	no	—
270	C₈	—	2	8	no	—
271	C₈	—	2	4	no	—
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₈	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	1	no	—
277	C₂²	—	2	1	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	1	no	—
280	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2355	1	2	yes	—
282	C₂²	#2356	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#2357	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#2367	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
286	C₂²	#2957	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	8	4	no	—
291	C₄	—	8	8	no	—
292	C₄	#1773	1	4	yes	—
293	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#2351	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#2352	1	2	yes	—
298	C₄	#2370	1	2	yes	—
299	C₂	—	2	1	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	2	1	no	—
302	C₂	#13804	1	1	yes	characteristic
303	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#23235	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
17. #1835	C₄	semidirect
18. #1834	C₄	semidirect
19. C₄×#108	C₄	semidirect
22. #1770	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20760	2
C₂×C₄×#108	2
#20441	2
C₂×#1770	2
#10910	2
#10851	2
#10819	2
#10707	2