Subgroups — #356415

Order 512.

976 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20762	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20441	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10910	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10910	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1836	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1778	C₄	1	8	yes	complemented
24	#1771	—	2	2	no	—
25	#1771	—	2	2	no	—
26	#1771	C₄	1	8	yes	complemented
27	#1770	—	2	2	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1735	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	—	2	4	no	—
56	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
61	#405	—	2	4	no	—
62	#405	—	2	4	no	—
63	#405	—	4	2	no	—
64	#405	—	4	2	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	—	4	2	no	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×#95	—	2	1	no	—
89	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	#339	—	2	4	no	—
95	#339	—	2	4	no	—
96	#339	—	4	2	no	—
97	#339	—	4	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
120	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	#108	—	2	16	no	—
177	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
179	#97	—	2	8	no	—
180	#97	—	4	4	no	—
181	#97	—	4	4	no	—
182	#97	—	4	4	no	—
183	#97	C₄²	1	16	yes	—
184	C₄×C₈	—	2	8	no	—
185	C₄×C₈	—	4	4	no	—
186	C₄×C₈	—	4	4	no	—
187	C₄×C₈	—	4	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	#95	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
220	M₁₆	—	2	4	no	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	4	2	no	—
226	M₁₆	—	4	2	no	—
227	M₁₆	#117	1	8	yes	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
279	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#556	1	2	yes	—
288	C₂³	#559	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	4	no	—
332	C₈	—	2	8	no	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2355	1	2	yes	—
344	C₂²	#2356	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2357	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2367	1	2	yes	—
347	C₂²	#2955	1	2	yes	—
348	C₂²	#2956	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2274	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2351	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2352	1	2	yes	—
360	C₄	#2370	1	2	yes	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	#13804	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20444	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#20445	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#23236	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
22. #1836	C₄	semidirect
23. #1778	C₄	semidirect
26. #1771	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20762	2
C₂×#1778	2
#20441	2
C₂×#1771	2
#10910	2
#10851	2
#10819	2
#10818	2
#10707	2
#10706	2