Subgroups — #356475

Order 512.

1978 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10791	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10790	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#443	—	2	8	no	—
13	C₂×#443	—	2	8	no	—
14	C₂×#443	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₄×#135	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	—	2	4	no	—
28	#1729	C₂²	1	4	yes	—
29	#1728	—	2	2	no	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	—	2	2	no	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
38	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
39	C₂×#135	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂×#131	—	2	8	no	—
45	C₂×#131	—	2	8	no	—
46	C₂×#131	—	4	4	no	—
47	C₂×#131	—	4	4	no	—
48	C₂×#131	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
49	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄×#41	—	2	8	no	—
56	C₄×#41	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#117	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#443	—	2	64	no	—
66	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
67	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
68	C₄×D₈	—	2	8	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	#427	—	2	4	no	—
73	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#104	—	2	8	no	—
76	C₂×#104	—	2	8	no	—
77	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
78	#416	—	2	8	no	—
79	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	#341	—	4	2	no	—
89	#339	—	4	4	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
97	#336	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#135	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
115	#135	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
116	C₂×Q₁₆	C₄²	1	4	yes	—
117	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×SD₁₆	C₄²	1	8	yes	—
120	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
123	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
125	#131	—	2	32	no	—
126	#131	—	4	16	no	—
127	#131	—	4	16	no	—
128	#131	—	4	16	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
161	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	8	no	—
164	C₄×D₄	—	4	4	no	—
165	C₄×D₄	—	4	16	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	#108	—	2	16	no	—
188	#107	—	2	4	no	—
189	#106	—	2	4	no	—
190	#104	—	2	32	no	—
191	#103	—	2	8	no	—
192	#102	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	16	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	2	8	no	—
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	—	2	8	no	—
204	#41	—	2	8	no	—
205	#41	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
206	#41	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
211	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
252	Q₁₆	#95	1	16	yes	complemented
253	SD₁₆	#95	1	32	yes	complemented
254	D₈	#95	1	16	yes	complemented
255	M₁₆	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	4	32	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	32	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	4	4	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
311	C₂³	#546	1	2	yes	—
312	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	2	4	no	—
315	Q₈	—	2	4	no	—
316	Q₈	—	2	4	no	—
317	Q₈	C₂×#95	1	8	yes	—
318	D₄	—	2	16	no	—
319	D₄	—	2	16	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	C₂×#95	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	16	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	16	no	—
344	C₂×C₄	#443	1	4	yes	complemented
345	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	2	4	no	—
365	C₈	—	4	8	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	C₂×#95	1	4	yes	—
368	C₈	C₂×#95	1	4	yes	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	8	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2339	1	2	yes	—
382	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2349	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
385	C₂²	#2957	1	2	yes	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	8	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2275	1	1	yes	characteristic
393	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
394	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
395	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
396	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	4	8	no	—
400	C₂	D₄×#95	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₄×#443	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20514	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#22454	1	2	yes	—
404	C₂	#22688	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20336	C₂	semidirect
4. #10864	C₂	semidirect
5. #10859	C₂	semidirect
6. #10791	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
14. C₂×#443	C₄	semidirect
16. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
17. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
18. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect
48. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
252. Q₁₆	#95	semidirect
253. SD₁₆	#95	semidirect
254. D₈	#95	semidirect
344. C₂×C₄	#443	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
C₂×C₄×#135	2
#20336	2
#10864	2
#10859	2
#10791	2
#10790	2
C₈×#95	2