Subgroups — #356487

Order 512.

2018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1738	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10734	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10724	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	D₄×M₁₆	—	2	8	no	—
13	D₄×M₁₆	C₄	1	16	yes	—
14	C₂×#436	—	2	8	no	—
15	C₂×#436	—	2	2	no	—
16	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
17	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×#435	—	2	4	no	—
19	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
20	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1738	—	2	8	no	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#436	—	2	16	no	—
65	#436	—	2	16	no	—
66	#436	—	2	16	no	—
67	#435	—	2	32	no	—
68	C₈×D₄	—	2	16	no	—
69	#423	—	2	4	no	—
70	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#407	—	2	8	no	—
77	#407	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#341	—	2	8	no	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#341	—	2	4	no	—
92	#341	—	2	2	no	—
93	#341	—	4	4	no	—
94	#341	—	4	2	no	—
95	#341	D₄	1	4	yes	complemented
96	C₂⁵	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
100	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
166	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
167	C₄×D₄	C₄²	1	8	yes	—
168	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
170	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
192	#97	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	16	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
208	C₂×D₄	#95	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	4	32	no	—
260	M₁₆	—	4	32	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	32	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
292	C₄⋊C₄	#95	1	8	yes	—
293	C₂²⋊C₄	#95	1	16	yes	—
294	C₂²⋊C₄	#95	1	16	yes	—
295	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	8	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	8	no	—
308	C₂³	—	2	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	—	8	8	no	—
314	C₂³	C₂×#95	1	8	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#554	1	2	yes	—
320	D₄	—	2	16	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	8	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	8	no	—
375	C₂²	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	2	8	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	8	8	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
383	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2349	1	2	yes	—
385	C₂²	#2349	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
387	C₂²	#2916	1	2	yes	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	8	no	—
392	C₄	#1738	1	4	yes	complemented
393	C₄	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2275	1	1	yes	characteristic
395	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
396	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
397	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2339	1	2	yes	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	2	2	no	—
401	C₂	—	4	8	no	—
402	C₂	D₄×#95	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#1738	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#20351	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#22669	1	2	yes	—
406	C₂	#22719	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂³×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1738	C₂	semidirect
4. #10853	C₂	semidirect
5. #10844	C₂	semidirect
6. #10734	C₂	semidirect
7. #10724	C₂	semidirect
8. C₄×#341	C₂	semidirect
95. #341	D₄	semidirect
392. C₄	#1738	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×M₁₆	2
C₂²×#436	2
C₂×#1738	2
#10853	2
#10844	2
#10734	2
#10724	2
C₄×#341	2